Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54750 / 42666
↖ ↑ ↗
← N 53.051120°
W 29.624634°		 ← 183.59 m → N 53.051120°
W 29.621887°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
N 53.049469°
W 29.624634°		 ← 183.60 m →
33 710 m²		 N 53.049469°
W 29.621887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417713165283203 y=0.325519561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417713165283203 × 217)
    floor (0.417713165283203 × 131072)
    floor (54750.5)     		tx = 54750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325519561767578 × 217)
    floor (0.325519561767578 × 131072)
    floor (42666.5)     		ty = 42666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54750 / 42666 ti = "17/54750/42666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54750/42666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54750 ÷ 217
    54750 ÷ 131072     		x = 0.417709350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42666 ÷ 217
    42666 ÷ 131072     		y = 0.325515747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417709350585938 × 2 - 1) × π
    -0.164581298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51704740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325515747070312 × 2 - 1) × π
    0.348968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09631689431068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51704740} λ = -0.51704740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09631689431068))-π/2
    2×atan(2.99312171413705)-π/2
    2×1.2483565216618-π/2
    2.4967130433236-1.57079632675     		φ = 0.92591672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51704740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.624634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92591672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.051120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54750 KachelY 42666 -0.51704740 0.92591672 -29.624634 53.051120
    Oben rechts KachelX + 1 54751 KachelY 42666 -0.51699946 0.92591672 -29.621887 53.051120
    Unten links KachelX 54750 KachelY + 1 42667 -0.51704740 0.92588790 -29.624634 53.049469
    Unten rechts KachelX + 1 54751 KachelY + 1 42667 -0.51699946 0.92588790 -29.621887 53.049469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92591672-0.92588790) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92591672-0.92588790) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51704740--0.51699946) × cos(0.92591672) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601102227975091 × 6371000     		do = 183.592092795246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51704740--0.51699946) × cos(0.92588790) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601125259866567 × 6371000     		du = 183.599127327743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92591672)-sin(0.92588790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601102227975091-0.601125259866567)×R²
    abs(-0.51699946--0.51704740)×2.30318914753447e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30318914753447e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30318914753447e-05×40589641000000     		ar = 33710.3975481161m²