Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54750 / 14879
↖ ↑ ↗
← N 79.921029°
W 29.624634°		 ← 53.45 m → N 79.921029°
W 29.621887°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.920548°
W 29.624634°		 ← 53.45 m →
2 857 m²		 N 79.920548°
W 29.621887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417713165283203 y=0.113521575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417713165283203 × 217)
    floor (0.417713165283203 × 131072)
    floor (54750.5)     		tx = 54750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113521575927734 × 217)
    floor (0.113521575927734 × 131072)
    floor (14879.5)     		ty = 14879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54750 / 14879 ti = "17/54750/14879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54750/14879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54750 ÷ 217
    54750 ÷ 131072     		x = 0.417709350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14879 ÷ 217
    14879 ÷ 131072     		y = 0.113517761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417709350585938 × 2 - 1) × π
    -0.164581298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51704740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113517761230469 × 2 - 1) × π
    0.772964477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.42833952405318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51704740} λ = -0.51704740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42833952405318))-π/2
    2×atan(11.3400365801046)-π/2
    2×1.4828407076318-π/2
    2.96568141526361-1.57079632675     		φ = 1.39488509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51704740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.624634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39488509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.921029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54750 KachelY 14879 -0.51704740 1.39488509 -29.624634 79.921029
    Oben rechts KachelX + 1 54751 KachelY 14879 -0.51699946 1.39488509 -29.621887 79.921029
    Unten links KachelX 54750 KachelY + 1 14880 -0.51704740 1.39487670 -29.624634 79.920548
    Unten rechts KachelX + 1 54751 KachelY + 1 14880 -0.51699946 1.39487670 -29.621887 79.920548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39488509-1.39487670) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39488509-1.39487670) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51704740--0.51699946) × cos(1.39488509) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175005384239017 × 6371000     		do = 53.4511489852749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51704740--0.51699946) × cos(1.39487670) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175013644753984 × 6371000     		du = 53.4536719591715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39488509)-sin(1.39487670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175005384239017-0.175013644753984)×R²
    abs(-0.51699946--0.51704740)×8.26051496705116e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.26051496705116e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.26051496705116e-06×40589641000000     		ar = 2857.17512670366m²