Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54750 / 13700
↖ ↑ ↗
← N 80.472247°
W 29.624634°		 ← 50.56 m → N 80.472247°
W 29.621887°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.471792°
W 29.624634°		 ← 50.56 m →
2 557 m²		 N 80.471792°
W 29.621887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417713165283203 y=0.104526519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417713165283203 × 217)
    floor (0.417713165283203 × 131072)
    floor (54750.5)     		tx = 54750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104526519775391 × 217)
    floor (0.104526519775391 × 131072)
    floor (13700.5)     		ty = 13700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54750 / 13700 ti = "17/54750/13700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54750/13700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54750 ÷ 217
    54750 ÷ 131072     		x = 0.417709350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13700 ÷ 217
    13700 ÷ 131072     		y = 0.104522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417709350585938 × 2 - 1) × π
    -0.164581298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51704740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104522705078125 × 2 - 1) × π
    0.79095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48485712870523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51704740} λ = -0.51704740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48485712870523))-π/2
    2×atan(11.9994057617205)-π/2
    2×1.48765099650987-π/2
    2.97530199301974-1.57079632675     		φ = 1.40450567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51704740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.624634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40450567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.472247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54750 KachelY 13700 -0.51704740 1.40450567 -29.624634 80.472247
    Oben rechts KachelX + 1 54751 KachelY 13700 -0.51699946 1.40450567 -29.621887 80.472247
    Unten links KachelX 54750 KachelY + 1 13701 -0.51704740 1.40449773 -29.624634 80.471792
    Unten rechts KachelX + 1 54751 KachelY + 1 13701 -0.51699946 1.40449773 -29.621887 80.471792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40450567-1.40449773) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40450567-1.40449773) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51704740--0.51699946) × cos(1.40450567) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.165525321384624 × 6371000     		do = 50.5556937727206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51704740--0.51699946) × cos(1.40449773) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.165533151851397 × 6371000     		du = 50.5580853988293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40450567)-sin(1.40449773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165525321384624-0.165533151851397)×R²
    abs(-0.51699946--0.51704740)×7.83046677321764e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.83046677321764e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.83046677321764e-06×40589641000000     		ar = 2557.45767165937m²