Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5475 / 3557
↖ ↑ ↗
← N 80.229182°
W119.849853°		 ← 207.32 m → N 80.229182°
W119.838867°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
N 80.227318°
W119.849853°		 ← 207.36 m →
42 984 m²		 N 80.227318°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167098999023438 y=0.108566284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167098999023438 × 215)
    floor (0.167098999023438 × 32768)
    floor (5475.5)     		tx = 5475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108566284179688 × 215)
    floor (0.108566284179688 × 32768)
    floor (3557.5)     		ty = 3557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5475 / 3557 ti = "15/5475/3557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5475/3557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5475 ÷ 215
    5475 ÷ 32768     		x = 0.167083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3557 ÷ 215
    3557 ÷ 32768     		y = 0.108551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.66583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09177455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108551025390625 × 2 - 1) × π
    0.78289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45954644570584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09177455} λ = -2.09177455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45954644570584))-π/2
    2×atan(11.6995039761697)-π/2
    2×1.48552985996001-π/2
    2.97105971992002-1.57079632675     		φ = 1.40026339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09177455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.849853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40026339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.229182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5475 KachelY 3557 -2.09177455 1.40026339 -119.849853 80.229182
    Oben rechts KachelX + 1 5476 KachelY 3557 -2.09158280 1.40026339 -119.838867 80.229182
    Unten links KachelX 5475 KachelY + 1 3558 -2.09177455 1.40023085 -119.849853 80.227318
    Unten rechts KachelX + 1 5476 KachelY + 1 3558 -2.09158280 1.40023085 -119.838867 80.227318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40026339-1.40023085) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dl = 207.312340000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40026339-1.40023085) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dr = 207.312340000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09177455--2.09158280) × cos(1.40026339) × R
    0.000191749999999935 × 0.169707579403185 × 6371000     		do = 207.321440021352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09177455--2.09158280) × cos(1.40023085) × R
    0.000191749999999935 × 0.169739647303173 × 6371000     		du = 207.360615426642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40026339)-sin(1.40023085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169707579403185-0.169739647303173)×R²
    abs(-2.09158280--2.09177455)×3.20678999875534e-05×R²
    0.000191749999999935×3.20678999875534e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.20678999875534e-05×40589641000000     		ar = 42984.3536392549m²