Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5475 / 2276
↖ ↑ ↗
← N 82.349953°
W119.849853°		 ← 162.63 m → N 82.349953°
W119.838867°		 →
↑
162.65 m
↓
↑
162.65 m
↓
N 82.348490°
W119.849853°		 ← 162.66 m →
26 454 m²		 N 82.348490°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167098999023438 y=0.0694732666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167098999023438 × 215)
    floor (0.167098999023438 × 32768)
    floor (5475.5)     		tx = 5475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0694732666015625 × 215)
    floor (0.0694732666015625 × 32768)
    floor (2276.5)     		ty = 2276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5475 / 2276 ti = "15/5475/2276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5475/2276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5475 ÷ 215
    5475 ÷ 32768     		x = 0.167083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2276 ÷ 215
    2276 ÷ 32768     		y = 0.0694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.66583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09177455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0694580078125 × 2 - 1) × π
    0.861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.70517511935901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09177455} λ = -2.09177455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70517511935901))-π/2
    2×atan(14.9569357101931)-π/2
    2×1.50403706686604-π/2
    3.00807413373209-1.57079632675     		φ = 1.43727781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09177455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.849853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43727781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.349953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5475 KachelY 2276 -2.09177455 1.43727781 -119.849853 82.349953
    Oben rechts KachelX + 1 5476 KachelY 2276 -2.09158280 1.43727781 -119.838867 82.349953
    Unten links KachelX 5475 KachelY + 1 2277 -2.09177455 1.43725228 -119.849853 82.348490
    Unten rechts KachelX + 1 5476 KachelY + 1 2277 -2.09158280 1.43725228 -119.838867 82.348490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43727781-1.43725228) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dl = 162.651630000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43727781-1.43725228) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dr = 162.651630000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09177455--2.09158280) × cos(1.43727781) × R
    0.000191749999999935 × 0.133122160165373 × 6371000     		do = 162.627255902751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09177455--2.09158280) × cos(1.43725228) × R
    0.000191749999999935 × 0.13314746289572 × 6371000     		du = 162.658166711275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43727781)-sin(1.43725228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133122160165373-0.13314746289572)×R²
    abs(-2.09158280--2.09177455)×2.53027303468156e-05×R²
    0.000191749999999935×2.53027303468156e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.53027303468156e-05×40589641000000     		ar = 26454.1021036014m²