Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54740 / 42700
↖ ↑ ↗
← N 52.994950°
W 29.652100°		 ← 183.83 m → N 52.994950°
W 29.649353°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 52.993297°
W 29.652100°		 ← 183.84 m →
33 789 m²		 N 52.993297°
W 29.649353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417636871337891 y=0.325778961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417636871337891 × 217)
    floor (0.417636871337891 × 131072)
    floor (54740.5)     		tx = 54740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325778961181641 × 217)
    floor (0.325778961181641 × 131072)
    floor (42700.5)     		ty = 42700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54740 / 42700 ti = "17/54740/42700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54740/42700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54740 ÷ 217
    54740 ÷ 131072     		x = 0.417633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42700 ÷ 217
    42700 ÷ 131072     		y = 0.325775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.16473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51752677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325775146484375 × 2 - 1) × π
    0.34844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0946870397236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51752677} λ = -0.51752677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0946870397236))-π/2
    2×atan(2.98824733432575)-π/2
    2×1.24786634796145-π/2
    2.4957326959229-1.57079632675     		φ = 0.92493637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51752677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.652100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92493637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.994950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54740 KachelY 42700 -0.51752677 0.92493637 -29.652100 52.994950
    Oben rechts KachelX + 1 54741 KachelY 42700 -0.51747883 0.92493637 -29.649353 52.994950
    Unten links KachelX 54740 KachelY + 1 42701 -0.51752677 0.92490752 -29.652100 52.993297
    Unten rechts KachelX + 1 54741 KachelY + 1 42701 -0.51747883 0.92490752 -29.649353 52.993297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92493637-0.92490752) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92493637-0.92490752) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51752677--0.51747883) × cos(0.92493637) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601885407402894 × 6371000     		do = 183.831295951535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51752677--0.51747883) × cos(0.92490752) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601908446256578 × 6371000     		du = 183.838332610471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92493637)-sin(0.92490752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601885407402894-0.601908446256578)×R²
    abs(-0.51747883--0.51752677)×2.30388536839321e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.30388536839321e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.30388536839321e-05×40589641000000     		ar = 33789.4547136877m²