Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5474 / 3167
↖ ↑ ↗
← N 80.930158°
W119.860840°		 ← 192.58 m → N 80.930158°
W119.849853°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 80.928426°
W119.860840°		 ← 192.61 m →
37 093 m²		 N 80.928426°
W119.849853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167068481445312 y=0.0966644287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167068481445312 × 215)
    floor (0.167068481445312 × 32768)
    floor (5474.5)     		tx = 5474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966644287109375 × 215)
    floor (0.0966644287109375 × 32768)
    floor (3167.5)     		ty = 3167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5474 / 3167 ti = "15/5474/3167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5474/3167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5474 ÷ 215
    5474 ÷ 32768     		x = 0.16705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3167 ÷ 215
    3167 ÷ 32768     		y = 0.096649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.6658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09196630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096649169921875 × 2 - 1) × π
    0.80670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53432800911313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09196630} λ = -2.09196630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53432800911313))-π/2
    2×atan(12.6079555694561)-π/2
    2×1.49164702160486-π/2
    2.98329404320972-1.57079632675     		φ = 1.41249772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09196630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41249772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.930158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5474 KachelY 3167 -2.09196630 1.41249772 -119.860840 80.930158
    Oben rechts KachelX + 1 5475 KachelY 3167 -2.09177455 1.41249772 -119.849853 80.930158
    Unten links KachelX 5474 KachelY + 1 3168 -2.09196630 1.41246749 -119.860840 80.928426
    Unten rechts KachelX + 1 5475 KachelY + 1 3168 -2.09177455 1.41246749 -119.849853 80.928426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41249772-1.41246749) × R
    3.02299999999089e-05 × 6371000     		dl = 192.59532999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41249772-1.41246749) × R
    3.02299999999089e-05 × 6371000     		dr = 192.59532999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09196630--2.09177455) × cos(1.41249772) × R
    0.000191750000000379 × 0.157638315040537 × 6371000     		do = 192.577152957766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09196630--2.09177455) × cos(1.41246749) × R
    0.000191750000000379 × 0.157668167000313 × 6371000     		du = 192.613621283517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41249772)-sin(1.41246749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157638315040537-0.157668167000313)×R²
    abs(-2.09177455--2.09196630)×2.98519597755342e-05×R²
    0.000191750000000379×2.98519597755342e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.98519597755342e-05×40589641000000     		ar = 37092.9721411757m²