Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54739 / 19059
↖ ↑ ↗
← N 77.700478°
W 29.654846°		 ← 65.06 m → N 77.700478°
W 29.652100°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.699894°
W 29.654846°		 ← 65.07 m →
4 232 m²		 N 77.699894°
W 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417629241943359 y=0.145412445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417629241943359 × 217)
    floor (0.417629241943359 × 131072)
    floor (54739.5)     		tx = 54739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145412445068359 × 217)
    floor (0.145412445068359 × 131072)
    floor (19059.5)     		ty = 19059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54739 / 19059 ti = "17/54739/19059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54739/19059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54739 ÷ 217
    54739 ÷ 131072     		x = 0.417625427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19059 ÷ 217
    19059 ÷ 131072     		y = 0.145408630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417625427246094 × 2 - 1) × π
    -0.164749145507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51757471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145408630371094 × 2 - 1) × π
    0.709182739257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.22796328364135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51757471} λ = -0.51757471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22796328364135))-π/2
    2×atan(9.28094416593269)-π/2
    2×1.46346275551146-π/2
    2.92692551102292-1.57079632675     		φ = 1.35612918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51757471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.654846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35612918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.700478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54739 KachelY 19059 -0.51757471 1.35612918 -29.654846 77.700478
    Oben rechts KachelX + 1 54740 KachelY 19059 -0.51752677 1.35612918 -29.652100 77.700478
    Unten links KachelX 54739 KachelY + 1 19060 -0.51757471 1.35611897 -29.654846 77.699894
    Unten rechts KachelX + 1 54740 KachelY + 1 19060 -0.51752677 1.35611897 -29.652100 77.699894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35612918-1.35611897) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35612918-1.35611897) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51757471--0.51752677) × cos(1.35612918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21302222676415 × 6371000     		do = 65.0624712458457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51757471--0.51752677) × cos(1.35611897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213032202406526 × 6371000     		du = 65.0655180638002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35612918)-sin(1.35611897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21302222676415-0.213032202406526)×R²
    abs(-0.51752677--0.51757471)×9.97564237539827e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97564237539827e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97564237539827e-06×40589641000000     		ar = 4232.27686856877m²