Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54738 / 15014
↖ ↑ ↗
← N 79.855931°
W 29.657593°		 ← 53.78 m → N 79.855931°
W 29.654846°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.855448°
W 29.657593°		 ← 53.78 m →
2 892 m²		 N 79.855448°
W 29.654846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417621612548828 y=0.114551544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417621612548828 × 217)
    floor (0.417621612548828 × 131072)
    floor (54738.5)     		tx = 54738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114551544189453 × 217)
    floor (0.114551544189453 × 131072)
    floor (15014.5)     		ty = 15014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54738 / 15014 ti = "17/54738/15014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54738/15014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54738 ÷ 217
    54738 ÷ 131072     		x = 0.417617797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15014 ÷ 217
    15014 ÷ 131072     		y = 0.114547729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417617797851562 × 2 - 1) × π
    -0.164764404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51762264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114547729492188 × 2 - 1) × π
    0.770904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42186804260448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51762264} λ = -0.51762264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42186804260448))-π/2
    2×atan(11.2668866931105)-π/2
    2×1.48227262783016-π/2
    2.96454525566032-1.57079632675     		φ = 1.39374893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51762264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.657593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39374893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.855931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54738 KachelY 15014 -0.51762264 1.39374893 -29.657593 79.855931
    Oben rechts KachelX + 1 54739 KachelY 15014 -0.51757471 1.39374893 -29.654846 79.855931
    Unten links KachelX 54738 KachelY + 1 15015 -0.51762264 1.39374049 -29.657593 79.855448
    Unten rechts KachelX + 1 54739 KachelY + 1 15015 -0.51757471 1.39374049 -29.654846 79.855448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39374893-1.39374049) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39374893-1.39374049) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51762264--0.51757471) × cos(1.39374893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176123897228609 × 6371000     		do = 53.7815507892725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51762264--0.51757471) × cos(1.39374049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176132205288314 × 6371000     		du = 53.7840877552492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39374893)-sin(1.39374049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176123897228609-0.176132205288314)×R²
    abs(-0.51757471--0.51762264)×8.30805970436499e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.30805970436499e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.30805970436499e-06×40589641000000     		ar = 2891.96888314493m²