Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54737 / 15013
↖ ↑ ↗
← N 79.856415°
W 29.660339°		 ← 53.79 m → N 79.856415°
W 29.657593°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.855931°
W 29.660339°		 ← 53.79 m →
2 892 m²		 N 79.855931°
W 29.657593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417613983154297 y=0.114543914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417613983154297 × 217)
    floor (0.417613983154297 × 131072)
    floor (54737.5)     		tx = 54737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114543914794922 × 217)
    floor (0.114543914794922 × 131072)
    floor (15013.5)     		ty = 15013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54737 / 15013 ti = "17/54737/15013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54737/15013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54737 ÷ 217
    54737 ÷ 131072     		x = 0.417610168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15013 ÷ 217
    15013 ÷ 131072     		y = 0.114540100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417610168457031 × 2 - 1) × π
    -0.164779663085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51767058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114540100097656 × 2 - 1) × π
    0.770919799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.4219159795041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51767058} λ = -0.51767058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4219159795041))-π/2
    2×atan(11.2674268056725)-π/2
    2×1.48227684914738-π/2
    2.96455369829476-1.57079632675     		φ = 1.39375737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51767058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.660339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39375737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.856415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54737 KachelY 15013 -0.51767058 1.39375737 -29.660339 79.856415
    Oben rechts KachelX + 1 54738 KachelY 15013 -0.51762264 1.39375737 -29.657593 79.856415
    Unten links KachelX 54737 KachelY + 1 15014 -0.51767058 1.39374893 -29.660339 79.855931
    Unten rechts KachelX + 1 54738 KachelY + 1 15014 -0.51762264 1.39374893 -29.657593 79.855931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39375737-1.39374893) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39375737-1.39374893) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51767058--0.51762264) × cos(1.39375737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176115589156359 × 6371000     		do = 53.7902341435817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51767058--0.51762264) × cos(1.39374893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176123897228609 × 6371000     		du = 53.7927716426967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39375737)-sin(1.39374893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176115589156359-0.176123897228609)×R²
    abs(-0.51762264--0.51767058)×8.30807225032926e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.30807225032926e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.30807225032926e-06×40589641000000     		ar = 2892.43581188408m²