Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54737 / 12738
↖ ↑ ↗
← N 80.899800°
W 29.660339°		 ← 48.31 m → N 80.899800°
W 29.657593°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.899365°
W 29.660339°		 ← 48.31 m →
2 333 m²		 N 80.899365°
W 29.657593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417613983154297 y=0.0971870422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417613983154297 × 217)
    floor (0.417613983154297 × 131072)
    floor (54737.5)     		tx = 54737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971870422363281 × 217)
    floor (0.0971870422363281 × 131072)
    floor (12738.5)     		ty = 12738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54737 / 12738 ti = "17/54737/12738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54737/12738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54737 ÷ 217
    54737 ÷ 131072     		x = 0.417610168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12738 ÷ 217
    12738 ÷ 131072     		y = 0.0971832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417610168457031 × 2 - 1) × π
    -0.164779663085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51767058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0971832275390625 × 2 - 1) × π
    0.805633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53097242613972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51767058} λ = -0.51767058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53097242613972))-π/2
    2×atan(12.5657194314819)-π/2
    2×1.49138209870279-π/2
    2.98276419740557-1.57079632675     		φ = 1.41196787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51767058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.660339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41196787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.899800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54737 KachelY 12738 -0.51767058 1.41196787 -29.660339 80.899800
    Oben rechts KachelX + 1 54738 KachelY 12738 -0.51762264 1.41196787 -29.657593 80.899800
    Unten links KachelX 54737 KachelY + 1 12739 -0.51767058 1.41196029 -29.660339 80.899365
    Unten rechts KachelX + 1 54738 KachelY + 1 12739 -0.51762264 1.41196029 -29.657593 80.899365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41196787-1.41196029) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41196787-1.41196029) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51767058--0.51762264) × cos(1.41196787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158161518129904 × 6371000     		do = 48.3065987143177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51767058--0.51762264) × cos(1.41196029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158169002717826 × 6371000     		du = 48.3088847001222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41196787)-sin(1.41196029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158161518129904-0.158169002717826)×R²
    abs(-0.51762264--0.51767058)×7.48458792171336e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48458792171336e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48458792171336e-06×40589641000000     		ar = 2332.88615794377m²