Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54734 / 19046
↖ ↑ ↗
← N 77.708082°
W 29.668579°		 ← 65.02 m → N 77.708082°
W 29.665832°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.707498°
W 29.668579°		 ← 65.03 m →
4 226 m²		 N 77.707498°
W 29.665832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417591094970703 y=0.145313262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417591094970703 × 217)
    floor (0.417591094970703 × 131072)
    floor (54734.5)     		tx = 54734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145313262939453 × 217)
    floor (0.145313262939453 × 131072)
    floor (19046.5)     		ty = 19046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54734 / 19046 ti = "17/54734/19046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54734/19046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54734 ÷ 217
    54734 ÷ 131072     		x = 0.417587280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19046 ÷ 217
    19046 ÷ 131072     		y = 0.145309448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417587280273438 × 2 - 1) × π
    -0.164825439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51781439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145309448242188 × 2 - 1) × π
    0.709381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22858646333641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51781439} λ = -0.51781439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22858646333641))-π/2
    2×atan(9.28672966440324)-π/2
    2×1.46352911086999-π/2
    2.92705822173999-1.57079632675     		φ = 1.35626189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51781439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.668579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35626189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.708082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54734 KachelY 19046 -0.51781439 1.35626189 -29.668579 77.708082
    Oben rechts KachelX + 1 54735 KachelY 19046 -0.51776645 1.35626189 -29.665832 77.708082
    Unten links KachelX 54734 KachelY + 1 19047 -0.51781439 1.35625169 -29.668579 77.707498
    Unten rechts KachelX + 1 54735 KachelY + 1 19047 -0.51776645 1.35625169 -29.665832 77.707498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35626189-1.35625169) × R
    1.02000000001823e-05 × 6371000     		dl = 64.9842000011613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35626189-1.35625169) × R
    1.02000000001823e-05 × 6371000     		dr = 64.9842000011613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51781439--0.51776645) × cos(1.35626189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212892560934385 × 6371000     		do = 65.022867963837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51781439--0.51776645) × cos(1.35625169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212902527094584 × 6371000     		du = 65.0259118856907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35626189)-sin(1.35625169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212892560934385-0.212902527094584)×R²
    abs(-0.51776645--0.51781439)×9.96616019871555e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.96616019871555e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.96616019871555e-06×40589641000000     		ar = 4225.55796000998m²