Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54733 / 11981
↖ ↑ ↗
← N 81.222820°
W 29.671326°		 ← 46.61 m → N 81.222820°
W 29.668579°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
N 81.222401°
W 29.671326°		 ← 46.61 m →
2 171 m²		 N 81.222401°
W 29.668579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417583465576172 y=0.0914115905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417583465576172 × 217)
    floor (0.417583465576172 × 131072)
    floor (54733.5)     		tx = 54733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0914115905761719 × 217)
    floor (0.0914115905761719 × 131072)
    floor (11981.5)     		ty = 11981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54733 / 11981 ti = "17/54733/11981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54733/11981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54733 ÷ 217
    54733 ÷ 131072     		x = 0.417579650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11981 ÷ 217
    11981 ÷ 131072     		y = 0.0914077758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417579650878906 × 2 - 1) × π
    -0.164840698242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51786233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0914077758789062 × 2 - 1) × π
    0.817184448242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.56726065915211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51786233} λ = -0.51786233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56726065915211))-π/2
    2×atan(13.030081672496)-π/2
    2×1.49420098042058-π/2
    2.98840196084117-1.57079632675     		φ = 1.41760563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51786233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.671326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41760563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.222820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54733 KachelY 11981 -0.51786233 1.41760563 -29.671326 81.222820
    Oben rechts KachelX + 1 54734 KachelY 11981 -0.51781439 1.41760563 -29.668579 81.222820
    Unten links KachelX 54733 KachelY + 1 11982 -0.51786233 1.41759832 -29.671326 81.222401
    Unten rechts KachelX + 1 54734 KachelY + 1 11982 -0.51781439 1.41759832 -29.668579 81.222401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41760563-1.41759832) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41760563-1.41759832) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51786233--0.51781439) × cos(1.41760563) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152592235149563 × 6371000     		do = 46.6055963388867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51786233--0.51781439) × cos(1.41759832) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152599459539785 × 6371000     		du = 46.6078028536164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41760563)-sin(1.41759832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152592235149563-0.152599459539785)×R²
    abs(-0.51781439--0.51786233)×7.22439022249333e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.22439022249333e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.22439022249333e-06×40589641000000     		ar = 2170.56767963656m²