Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54729 / 12819
↖ ↑ ↗
← N 80.864546°
W 29.682312°		 ← 48.48 m → N 80.864546°
W 29.679566°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.864110°
W 29.682312°		 ← 48.48 m →
2 351 m²		 N 80.864110°
W 29.679566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417552947998047 y=0.0978050231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417552947998047 × 217)
    floor (0.417552947998047 × 131072)
    floor (54729.5)     		tx = 54729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978050231933594 × 217)
    floor (0.0978050231933594 × 131072)
    floor (12819.5)     		ty = 12819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54729 / 12819 ti = "17/54729/12819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54729/12819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54729 ÷ 217
    54729 ÷ 131072     		x = 0.417549133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12819 ÷ 217
    12819 ÷ 131072     		y = 0.0978012084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417549133300781 × 2 - 1) × π
    -0.164901733398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51805407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0978012084960938 × 2 - 1) × π
    0.804397583007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.5270895372705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51805407} λ = -0.51805407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5270895372705))-π/2
    2×atan(12.5170227424661)-π/2
    2×1.49107444753129-π/2
    2.98214889506258-1.57079632675     		φ = 1.41135257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51805407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.682312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41135257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.864546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54729 KachelY 12819 -0.51805407 1.41135257 -29.682312 80.864546
    Oben rechts KachelX + 1 54730 KachelY 12819 -0.51800614 1.41135257 -29.679566 80.864546
    Unten links KachelX 54729 KachelY + 1 12820 -0.51805407 1.41134496 -29.682312 80.864110
    Unten rechts KachelX + 1 54730 KachelY + 1 12820 -0.51800614 1.41134496 -29.679566 80.864110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41135257-1.41134496) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41135257-1.41134496) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51805407--0.51800614) × cos(1.41135257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158769043527249 × 6371000     		do = 48.4820374326689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51805407--0.51800614) × cos(1.41134496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158776556995512 × 6371000     		du = 48.4843317605899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41135257)-sin(1.41134496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158769043527249-0.158776556995512)×R²
    abs(-0.51800614--0.51805407)×7.51346826241561e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.51346826241561e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.51346826241561e-06×40589641000000     		ar = 2350.62526864901m²