Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54728 / 15080
↖ ↑ ↗
← N 79.823955°
W 29.685059°		 ← 53.96 m → N 79.823955°
W 29.682312°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.823469°
W 29.685059°		 ← 53.96 m →
2 912 m²		 N 79.823469°
W 29.682312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417545318603516 y=0.115055084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417545318603516 × 217)
    floor (0.417545318603516 × 131072)
    floor (54728.5)     		tx = 54728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115055084228516 × 217)
    floor (0.115055084228516 × 131072)
    floor (15080.5)     		ty = 15080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54728 / 15080 ti = "17/54728/15080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54728/15080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54728 ÷ 217
    54728 ÷ 131072     		x = 0.41754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15080 ÷ 217
    15080 ÷ 131072     		y = 0.11505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11505126953125 × 2 - 1) × π
    0.7698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41870420722955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51810201} λ = -0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41870420722955))-π/2
    2×atan(11.23129644895)-π/2
    2×1.48199358002997-π/2
    2.96398716005995-1.57079632675     		φ = 1.39319083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39319083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.823955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54728 KachelY 15080 -0.51810201 1.39319083 -29.685059 79.823955
    Oben rechts KachelX + 1 54729 KachelY 15080 -0.51805407 1.39319083 -29.682312 79.823955
    Unten links KachelX 54728 KachelY + 1 15081 -0.51810201 1.39318236 -29.685059 79.823469
    Unten rechts KachelX + 1 54729 KachelY + 1 15081 -0.51805407 1.39318236 -29.682312 79.823469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39319083-1.39318236) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39319083-1.39318236) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51810201--0.51805407) × cos(1.39319083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17667324555554 × 6371000     		do = 53.9605567619673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51810201--0.51805407) × cos(1.39318236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176681582312366 × 6371000     		du = 53.9631030220898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39319083)-sin(1.39318236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17667324555554-0.176681582312366)×R²
    abs(-0.51805407--0.51810201)×8.33675682529456e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.33675682529456e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.33675682529456e-06×40589641000000     		ar = 2911.90823065156m²