Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54728 / 12008
↖ ↑ ↗
← N 81.211497°
W 29.685059°		 ← 46.67 m → N 81.211497°
W 29.682312°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
N 81.211077°
W 29.685059°		 ← 46.67 m →
2 179 m²		 N 81.211077°
W 29.682312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417545318603516 y=0.0916175842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417545318603516 × 217)
    floor (0.417545318603516 × 131072)
    floor (54728.5)     		tx = 54728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0916175842285156 × 217)
    floor (0.0916175842285156 × 131072)
    floor (12008.5)     		ty = 12008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54728 / 12008 ti = "17/54728/12008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54728/12008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54728 ÷ 217
    54728 ÷ 131072     		x = 0.41754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12008 ÷ 217
    12008 ÷ 131072     		y = 0.09161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09161376953125 × 2 - 1) × π
    0.8167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56596636286237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51810201} λ = -0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56596636286237))-π/2
    2×atan(13.0132277954404)-π/2
    2×1.49410216745763-π/2
    2.98820433491525-1.57079632675     		φ = 1.41740801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41740801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.211497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54728 KachelY 12008 -0.51810201 1.41740801 -29.685059 81.211497
    Oben rechts KachelX + 1 54729 KachelY 12008 -0.51805407 1.41740801 -29.682312 81.211497
    Unten links KachelX 54728 KachelY + 1 12009 -0.51810201 1.41740068 -29.685059 81.211077
    Unten rechts KachelX + 1 54729 KachelY + 1 12009 -0.51805407 1.41740068 -29.682312 81.211077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41740801-1.41740068) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41740801-1.41740068) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51810201--0.51805407) × cos(1.41740801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152787537887045 × 6371000     		do = 46.6652468218982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51810201--0.51805407) × cos(1.41740068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152794781821845 × 6371000     		du = 46.6674593060449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41740801)-sin(1.41740068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152787537887045-0.152794781821845)×R²
    abs(-0.51805407--0.51810201)×7.243934799811e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.243934799811e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.243934799811e-06×40589641000000     		ar = 2179.29208822506m²