Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54727 / 11843
↖ ↑ ↗
← N 81.280468°
W 29.687805°		 ← 46.30 m → N 81.280468°
W 29.685059°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.280052°
W 29.687805°		 ← 46.30 m →
2 142 m²		 N 81.280052°
W 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417537689208984 y=0.0903587341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417537689208984 × 217)
    floor (0.417537689208984 × 131072)
    floor (54727.5)     		tx = 54727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903587341308594 × 217)
    floor (0.0903587341308594 × 131072)
    floor (11843.5)     		ty = 11843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54727 / 11843 ti = "17/54727/11843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54727/11843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54727 ÷ 217
    54727 ÷ 131072     		x = 0.417533874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11843 ÷ 217
    11843 ÷ 131072     		y = 0.0903549194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417533874511719 × 2 - 1) × π
    -0.164932250976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51814995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0903549194335938 × 2 - 1) × π
    0.819290161132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.57387595129968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51814995} λ = -0.51814995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57387595129968))-π/2
    2×atan(13.1165652110114)-π/2
    2×1.49470405513117-π/2
    2.98940811026234-1.57079632675     		φ = 1.41861178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51814995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.687805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41861178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.280468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54727 KachelY 11843 -0.51814995 1.41861178 -29.687805 81.280468
    Oben rechts KachelX + 1 54728 KachelY 11843 -0.51810201 1.41861178 -29.685059 81.280468
    Unten links KachelX 54727 KachelY + 1 11844 -0.51814995 1.41860452 -29.687805 81.280052
    Unten rechts KachelX + 1 54728 KachelY + 1 11844 -0.51810201 1.41860452 -29.685059 81.280052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41861178-1.41860452) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41861178-1.41860452) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51814995--0.51810201) × cos(1.41861178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151597790867244 × 6371000     		do = 46.3018674579629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51814995--0.51810201) × cos(1.41860452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151604966954087 × 6371000     		du = 46.3040592195973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41861178)-sin(1.41860452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151597790867244-0.151604966954087)×R²
    abs(-0.51810201--0.51814995)×7.17608684344673e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17608684344673e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17608684344673e-06×40589641000000     		ar = 2141.67226266096m²