Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54726 / 42708
↖ ↑ ↗
← N 52.981723°
W 29.690551°		 ← 183.85 m → N 52.981723°
W 29.687805°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
N 52.980069°
W 29.690551°		 ← 183.86 m →
33 804 m²		 N 52.980069°
W 29.687805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417530059814453 y=0.325839996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417530059814453 × 217)
    floor (0.417530059814453 × 131072)
    floor (54726.5)     		tx = 54726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325839996337891 × 217)
    floor (0.325839996337891 × 131072)
    floor (42708.5)     		ty = 42708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54726 / 42708 ti = "17/54726/42708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54726/42708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54726 ÷ 217
    54726 ÷ 131072     		x = 0.417526245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42708 ÷ 217
    42708 ÷ 131072     		y = 0.325836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417526245117188 × 2 - 1) × π
    -0.164947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51819788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325836181640625 × 2 - 1) × π
    0.34832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09430354452664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51819788} λ = -0.51819788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09430354452664))-π/2
    2×atan(2.98710157553625)-π/2
    2×1.24775092020679-π/2
    2.49550184041358-1.57079632675     		φ = 0.92470551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51819788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.690551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92470551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.981723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54726 KachelY 42708 -0.51819788 0.92470551 -29.690551 52.981723
    Oben rechts KachelX + 1 54727 KachelY 42708 -0.51814995 0.92470551 -29.687805 52.981723
    Unten links KachelX 54726 KachelY + 1 42709 -0.51819788 0.92467665 -29.690551 52.980069
    Unten rechts KachelX + 1 54727 KachelY + 1 42709 -0.51814995 0.92467665 -29.687805 52.980069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92470551-0.92467665) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92470551-0.92467665) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51819788--0.51814995) × cos(0.92470551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602069752110408 × 6371000     		do = 183.849241706143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51819788--0.51814995) × cos(0.92467665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602092794938918 × 6371000     		du = 183.856278111034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92470551)-sin(0.92467665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602069752110408-0.602092794938918)×R²
    abs(-0.51814995--0.51819788)×2.30428285105111e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30428285105111e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30428285105111e-05×40589641000000     		ar = 33804.4664397372m²