Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54726 / 15038
↖ ↑ ↗
← N 79.844315°
W 29.690551°		 ← 53.84 m → N 79.844315°
W 29.687805°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.843831°
W 29.690551°		 ← 53.85 m →
2 902 m²		 N 79.843831°
W 29.687805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417530059814453 y=0.114734649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417530059814453 × 217)
    floor (0.417530059814453 × 131072)
    floor (54726.5)     		tx = 54726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114734649658203 × 217)
    floor (0.114734649658203 × 131072)
    floor (15038.5)     		ty = 15038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54726 / 15038 ti = "17/54726/15038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54726/15038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54726 ÷ 217
    54726 ÷ 131072     		x = 0.417526245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15038 ÷ 217
    15038 ÷ 131072     		y = 0.114730834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417526245117188 × 2 - 1) × π
    -0.164947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51819788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114730834960938 × 2 - 1) × π
    0.770538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4207175570136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51819788} λ = -0.51819788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4207175570136))-π/2
    2×atan(11.2539317559791)-π/2
    2×1.48217125643645-π/2
    2.9643425128729-1.57079632675     		φ = 1.39354619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51819788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.690551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39354619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.844315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54726 KachelY 15038 -0.51819788 1.39354619 -29.690551 79.844315
    Oben rechts KachelX + 1 54727 KachelY 15038 -0.51814995 1.39354619 -29.687805 79.844315
    Unten links KachelX 54726 KachelY + 1 15039 -0.51819788 1.39353773 -29.690551 79.843831
    Unten rechts KachelX + 1 54727 KachelY + 1 15039 -0.51814995 1.39353773 -29.687805 79.843831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39354619-1.39353773) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dl = 53.8986599992157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39354619-1.39353773) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dr = 53.8986599992157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51819788--0.51814995) × cos(1.39354619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176323464377287 × 6371000     		do = 53.8424910189141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51819788--0.51814995) × cos(1.39353773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17633179182206 × 6371000     		du = 53.8450339043545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39354619)-sin(1.39353773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176323464377287-0.17633179182206)×R²
    abs(-0.51814995--0.51819788)×8.32744477208269e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.32744477208269e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.32744477208269e-06×40589641000000     		ar = 2902.10664598306m²