Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54726 / 15022
↖ ↑ ↗
← N 79.852060°
W 29.690551°		 ← 53.80 m → N 79.852060°
W 29.687805°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.851577°
W 29.690551°		 ← 53.80 m →
2 893 m²		 N 79.851577°
W 29.687805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417530059814453 y=0.114612579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417530059814453 × 217)
    floor (0.417530059814453 × 131072)
    floor (54726.5)     		tx = 54726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114612579345703 × 217)
    floor (0.114612579345703 × 131072)
    floor (15022.5)     		ty = 15022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54726 / 15022 ti = "17/54726/15022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54726/15022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54726 ÷ 217
    54726 ÷ 131072     		x = 0.417526245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15022 ÷ 217
    15022 ÷ 131072     		y = 0.114608764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417526245117188 × 2 - 1) × π
    -0.164947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51819788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114608764648438 × 2 - 1) × π
    0.770782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42148454740752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51819788} λ = -0.51819788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42148454740752))-π/2
    2×atan(11.2625667245755)-π/2
    2×1.4822388501205-π/2
    2.96447770024099-1.57079632675     		φ = 1.39368137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51819788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.690551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39368137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.852060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54726 KachelY 15022 -0.51819788 1.39368137 -29.690551 79.852060
    Oben rechts KachelX + 1 54727 KachelY 15022 -0.51814995 1.39368137 -29.687805 79.852060
    Unten links KachelX 54726 KachelY + 1 15023 -0.51819788 1.39367293 -29.690551 79.851577
    Unten rechts KachelX + 1 54727 KachelY + 1 15023 -0.51814995 1.39367293 -29.687805 79.851577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39368137-1.39367293) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39368137-1.39367293) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51819788--0.51814995) × cos(1.39368137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176190400729153 × 6371000     		do = 53.8018584332006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51819788--0.51814995) × cos(1.39367293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176198708688409 × 6371000     		du = 53.8043953685042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39368137)-sin(1.39367293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176190400729153-0.176198708688409)×R²
    abs(-0.51814995--0.51819788)×8.30795925610417e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.30795925610417e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.30795925610417e-06×40589641000000     		ar = 2893.06084952663m²