Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54724 / 11971
↖ ↑ ↗
← N 81.227010°
W 29.696045°		 ← 46.58 m → N 81.227010°
W 29.693298°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
N 81.226591°
W 29.696045°		 ← 46.59 m →
2 170 m²		 N 81.226591°
W 29.693298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417514801025391 y=0.0913352966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417514801025391 × 217)
    floor (0.417514801025391 × 131072)
    floor (54724.5)     		tx = 54724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0913352966308594 × 217)
    floor (0.0913352966308594 × 131072)
    floor (11971.5)     		ty = 11971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54724 / 11971 ti = "17/54724/11971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54724/11971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54724 ÷ 217
    54724 ÷ 131072     		x = 0.417510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11971 ÷ 217
    11971 ÷ 131072     		y = 0.0913314819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0913314819335938 × 2 - 1) × π
    0.817337036132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.56774002814831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51829376} λ = -0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56774002814831))-π/2
    2×atan(13.0363293870285)-π/2
    2×1.4942375457507-π/2
    2.98847509150139-1.57079632675     		φ = 1.41767876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41767876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.227010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54724 KachelY 11971 -0.51829376 1.41767876 -29.696045 81.227010
    Oben rechts KachelX + 1 54725 KachelY 11971 -0.51824582 1.41767876 -29.693298 81.227010
    Unten links KachelX 54724 KachelY + 1 11972 -0.51829376 1.41767145 -29.696045 81.226591
    Unten rechts KachelX + 1 54725 KachelY + 1 11972 -0.51824582 1.41767145 -29.693298 81.226591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41767876-1.41767145) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41767876-1.41767145) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51829376--0.51824582) × cos(1.41767876) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152519961149923 × 6371000     		do = 46.583521999064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51829376--0.51824582) × cos(1.41767145) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152527185621701 × 6371000     		du = 46.5857285387028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41767876)-sin(1.41767145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152519961149923-0.152527185621701)×R²
    abs(-0.51824582--0.51829376)×7.22447177789465e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.22447177789465e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.22447177789465e-06×40589641000000     		ar = 2169.53963390271m²