Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54723 / 12099
↖ ↑ ↗
← N 81.173227°
W 29.698792°		 ← 46.87 m → N 81.173227°
W 29.696045°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
N 81.172805°
W 29.698792°		 ← 46.87 m →
2 198 m²		 N 81.172805°
W 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417507171630859 y=0.0923118591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417507171630859 × 217)
    floor (0.417507171630859 × 131072)
    floor (54723.5)     		tx = 54723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923118591308594 × 217)
    floor (0.0923118591308594 × 131072)
    floor (12099.5)     		ty = 12099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54723 / 12099 ti = "17/54723/12099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54723/12099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54723 ÷ 217
    54723 ÷ 131072     		x = 0.417503356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12099 ÷ 217
    12099 ÷ 131072     		y = 0.0923080444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417503356933594 × 2 - 1) × π
    -0.164993286132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51834170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0923080444335938 × 2 - 1) × π
    0.815383911132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.56160410499694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51834170} λ = -0.51834170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56160410499694))-π/2
    2×atan(12.9565843765586)-π/2
    2×1.49376819879986-π/2
    2.98753639759971-1.57079632675     		φ = 1.41674007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51834170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.698792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41674007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.173227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54723 KachelY 12099 -0.51834170 1.41674007 -29.698792 81.173227
    Oben rechts KachelX + 1 54724 KachelY 12099 -0.51829376 1.41674007 -29.696045 81.173227
    Unten links KachelX 54723 KachelY + 1 12100 -0.51834170 1.41673271 -29.698792 81.172805
    Unten rechts KachelX + 1 54724 KachelY + 1 12100 -0.51829376 1.41673271 -29.696045 81.172805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41674007-1.41673271) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dl = 46.8905599993679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41674007-1.41673271) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dr = 46.8905599993679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51834170--0.51829376) × cos(1.41674007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153447601511415 × 6371000     		do = 46.8668472428183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51834170--0.51829376) × cos(1.41673271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153454874341203 × 6371000     		du = 46.8690685522383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41674007)-sin(1.41673271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153447601511415-0.153454874341203)×R²
    abs(-0.51829376--0.51834170)×7.27282978821298e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27282978821298e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27282978821298e-06×40589641000000     		ar = 2197.66479175431m²