Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54722 / 42671
↖ ↑ ↗
← N 53.042864°
W 29.701538°		 ← 183.59 m → N 53.042864°
W 29.698792°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
N 53.041213°
W 29.701538°		 ← 183.60 m →
33 710 m²		 N 53.041213°
W 29.698792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417499542236328 y=0.325557708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417499542236328 × 217)
    floor (0.417499542236328 × 131072)
    floor (54722.5)     		tx = 54722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325557708740234 × 217)
    floor (0.325557708740234 × 131072)
    floor (42671.5)     		ty = 42671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54722 / 42671 ti = "17/54722/42671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54722/42671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54722 ÷ 217
    54722 ÷ 131072     		x = 0.417495727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42671 ÷ 217
    42671 ÷ 131072     		y = 0.325553894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417495727539062 × 2 - 1) × π
    -0.165008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51838963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325553894042969 × 2 - 1) × π
    0.348892211914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09607720981258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51838963} λ = -0.51838963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09607720981258))-π/2
    2×atan(2.99240439522979)-π/2
    2×1.24828447731901-π/2
    2.49656895463802-1.57079632675     		φ = 0.92577263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51838963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.701538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92577263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54722 KachelY 42671 -0.51838963 0.92577263 -29.701538 53.042864
    Oben rechts KachelX + 1 54723 KachelY 42671 -0.51834170 0.92577263 -29.698792 53.042864
    Unten links KachelX 54722 KachelY + 1 42672 -0.51838963 0.92574381 -29.701538 53.041213
    Unten rechts KachelX + 1 54723 KachelY + 1 42672 -0.51834170 0.92574381 -29.698792 53.041213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92577263-0.92574381) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92577263-0.92574381) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51838963--0.51834170) × cos(0.92577263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601217374448521 × 6371000     		do = 183.588957932983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51838963--0.51834170) × cos(0.92574381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601240403843528 × 6371000     		du = 183.595990235792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92577263)-sin(0.92574381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601217374448521-0.601240403843528)×R²
    abs(-0.51834170--0.51838963)×2.30293950069793e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30293950069793e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30293950069793e-05×40589641000000     		ar = 33709.8217443684m²