Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54721 / 42715
↖ ↑ ↗
← N 52.970146°
W 29.704285°		 ← 183.94 m → N 52.970146°
W 29.701538°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
N 52.968492°
W 29.704285°		 ← 183.94 m →
33 832 m²		 N 52.968492°
W 29.701538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417491912841797 y=0.325893402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417491912841797 × 217)
    floor (0.417491912841797 × 131072)
    floor (54721.5)     		tx = 54721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325893402099609 × 217)
    floor (0.325893402099609 × 131072)
    floor (42715.5)     		ty = 42715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54721 / 42715 ti = "17/54721/42715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54721/42715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54721 ÷ 217
    54721 ÷ 131072     		x = 0.417488098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42715 ÷ 217
    42715 ÷ 131072     		y = 0.325889587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417488098144531 × 2 - 1) × π
    -0.165023803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51843757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325889587402344 × 2 - 1) × π
    0.348220825195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.0939679862293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51843757} λ = -0.51843757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0939679862293))-π/2
    2×atan(2.98609939697165)-π/2
    2×1.24764989192415-π/2
    2.4952997838483-1.57079632675     		φ = 0.92450346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51843757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.704285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92450346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.970146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54721 KachelY 42715 -0.51843757 0.92450346 -29.704285 52.970146
    Oben rechts KachelX + 1 54722 KachelY 42715 -0.51838963 0.92450346 -29.701538 52.970146
    Unten links KachelX 54721 KachelY + 1 42716 -0.51843757 0.92447459 -29.704285 52.968492
    Unten rechts KachelX + 1 54722 KachelY + 1 42716 -0.51838963 0.92447459 -29.701538 52.968492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92450346-0.92447459) × R
    2.88700000000697e-05 × 6371000     		dl = 183.930770000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92450346-0.92447459) × R
    2.88700000000697e-05 × 6371000     		dr = 183.930770000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51843757--0.51838963) × cos(0.92450346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602231065327825 × 6371000     		do = 183.936868778619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51843757--0.51838963) × cos(0.92447459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602254112628076 × 6371000     		du = 183.943908017353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92450346)-sin(0.92447459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602231065327825-0.602254112628076)×R²
    abs(-0.51838963--0.51843757)×2.30473002506004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30473002506004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30473002506004e-05×40589641000000     		ar = 33832.2972745107m²