Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5472 / 3423
↖ ↑ ↗
← N 80.475883°
W119.882812°		 ← 202.13 m → N 80.475883°
W119.871826°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
N 80.474065°
W119.882812°		 ← 202.16 m →
40 864 m²		 N 80.474065°
W119.871826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167007446289062 y=0.104476928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167007446289062 × 215)
    floor (0.167007446289062 × 32768)
    floor (5472.5)     		tx = 5472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104476928710938 × 215)
    floor (0.104476928710938 × 32768)
    floor (3423.5)     		ty = 3423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5472 / 3423 ti = "15/5472/3423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5472/3423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5472 ÷ 215
    5472 ÷ 32768     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3423 ÷ 215
    3423 ÷ 32768     		y = 0.104461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104461669921875 × 2 - 1) × π
    0.79107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48524062390219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48524062390219))-π/2
    2×atan(12.0040083586771)-π/2
    2×1.48768272959224-π/2
    2.97536545918449-1.57079632675     		φ = 1.40456913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40456913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.475883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5472 KachelY 3423 -2.09234979 1.40456913 -119.882812 80.475883
    Oben rechts KachelX + 1 5473 KachelY 3423 -2.09215805 1.40456913 -119.871826 80.475883
    Unten links KachelX 5472 KachelY + 1 3424 -2.09234979 1.40453740 -119.882812 80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 5473 KachelY + 1 3424 -2.09215805 1.40453740 -119.871826 80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40456913-1.40453740) × R
    3.17300000001186e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40456913-1.40453740) × R
    3.17300000001186e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09215805) × cos(1.40456913) × R
    0.000191739999999996 × 0.165462736447771 × 6371000     		do = 202.125231626059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09215805) × cos(1.40453740) × R
    0.000191739999999996 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 202.163457841844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40456913)-sin(1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165462736447771-0.165494028999507)×R²
    abs(-2.09215805--2.09234979)×3.12925517358675e-05×R²
    0.000191739999999996×3.12925517358675e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.12925517358675e-05×40589641000000     		ar = 40863.8492158221m²