Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54719 / 11965
↖ ↑ ↗
← N 81.229523°
W 29.709778°		 ← 46.56 m → N 81.229523°
W 29.707031°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
N 81.229104°
W 29.709778°		 ← 46.56 m →
2 168 m²		 N 81.229104°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417476654052734 y=0.0912895202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417476654052734 × 217)
    floor (0.417476654052734 × 131072)
    floor (54719.5)     		tx = 54719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0912895202636719 × 217)
    floor (0.0912895202636719 × 131072)
    floor (11965.5)     		ty = 11965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54719 / 11965 ti = "17/54719/11965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54719/11965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54719 ÷ 217
    54719 ÷ 131072     		x = 0.417472839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11965 ÷ 217
    11965 ÷ 131072     		y = 0.0912857055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417472839355469 × 2 - 1) × π
    -0.165054321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51853344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0912857055664062 × 2 - 1) × π
    0.817428588867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.56802764954603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51853344} λ = -0.51853344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56802764954603))-π/2
    2×atan(13.0400794535817)-π/2
    2×1.49425947663508-π/2
    2.98851895327016-1.57079632675     		φ = 1.41772263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51853344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.709778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41772263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.229523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54719 KachelY 11965 -0.51853344 1.41772263 -29.709778 81.229523
    Oben rechts KachelX + 1 54720 KachelY 11965 -0.51848551 1.41772263 -29.707031 81.229523
    Unten links KachelX 54719 KachelY + 1 11966 -0.51853344 1.41771532 -29.709778 81.229104
    Unten rechts KachelX + 1 54720 KachelY + 1 11966 -0.51848551 1.41771532 -29.707031 81.229104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41772263-1.41771532) × R
    7.31000000020465e-06 × 6371000     		dl = 46.5720100013038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41772263-1.41771532) × R
    7.31000000020465e-06 × 6371000     		dr = 46.5720100013038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51853344--0.51848551) × cos(1.41772263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152476604265047 × 6371000     		do = 46.5605654059099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51853344--0.51848551) × cos(1.41771532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152483828785731 × 6371000     		du = 46.5627715002117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41772263)-sin(1.41771532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152476604265047-0.152483828785731)×R²
    abs(-0.51848551--0.51853344)×7.22452068391277e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.22452068391277e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.22452068391277e-06×40589641000000     		ar = 2168.47048875363m²