Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54717 / 15168
↖ ↑ ↗
← N 79.781164°
W 29.715271°		 ← 54.19 m → N 79.781164°
W 29.712524°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.780677°
W 29.715271°		 ← 54.19 m →
2 938 m²		 N 79.780677°
W 29.712524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417461395263672 y=0.115726470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417461395263672 × 217)
    floor (0.417461395263672 × 131072)
    floor (54717.5)     		tx = 54717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115726470947266 × 217)
    floor (0.115726470947266 × 131072)
    floor (15168.5)     		ty = 15168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54717 / 15168 ti = "17/54717/15168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54717/15168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54717 ÷ 217
    54717 ÷ 131072     		x = 0.417457580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15168 ÷ 217
    15168 ÷ 131072     		y = 0.11572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417457580566406 × 2 - 1) × π
    -0.165084838867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51862932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11572265625 × 2 - 1) × π
    0.7685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41448576006299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51862932} λ = -0.51862932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41448576006299))-π/2
    2×atan(11.1840176100219)-π/2
    2×1.4816201619993-π/2
    2.96324032399859-1.57079632675     		φ = 1.39244400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51862932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.715271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39244400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.781164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54717 KachelY 15168 -0.51862932 1.39244400 -29.715271 79.781164
    Oben rechts KachelX + 1 54718 KachelY 15168 -0.51858138 1.39244400 -29.712524 79.781164
    Unten links KachelX 54717 KachelY + 1 15169 -0.51862932 1.39243549 -29.715271 79.780677
    Unten rechts KachelX + 1 54718 KachelY + 1 15169 -0.51858138 1.39243549 -29.712524 79.780677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39244400-1.39243549) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39244400-1.39243549) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51862932--0.51858138) × cos(1.39244400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177408278251583 × 6371000     		do = 54.18505466708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51862932--0.51858138) × cos(1.39243549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177416653253917 × 6371000     		du = 54.1876126083655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39244400)-sin(1.39243549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177408278251583-0.177416653253917)×R²
    abs(-0.51858138--0.51862932)×8.37500233427657e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37500233427657e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37500233427657e-06×40589641000000     		ar = 2937.83183009016m²