Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54716 / 42731
↖ ↑ ↗
← N 52.943673°
W 29.718017°		 ← 184.01 m → N 52.943673°
W 29.715271°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.942018°
W 29.718017°		 ← 184.02 m →
33 869 m²		 N 52.942018°
W 29.715271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417453765869141 y=0.326015472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417453765869141 × 217)
    floor (0.417453765869141 × 131072)
    floor (54716.5)     		tx = 54716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326015472412109 × 217)
    floor (0.326015472412109 × 131072)
    floor (42731.5)     		ty = 42731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54716 / 42731 ti = "17/54716/42731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54716/42731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54716 ÷ 217
    54716 ÷ 131072     		x = 0.417449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42731 ÷ 217
    42731 ÷ 131072     		y = 0.326011657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326011657714844 × 2 - 1) × π
    0.347976684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.09320099583538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51867725} λ = -0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09320099583538))-π/2
    2×atan(2.98380996551708)-π/2
    2×1.24741886848925-π/2
    2.4948377369785-1.57079632675     		φ = 0.92404141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92404141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.943673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54716 KachelY 42731 -0.51867725 0.92404141 -29.718017 52.943673
    Oben rechts KachelX + 1 54717 KachelY 42731 -0.51862932 0.92404141 -29.715271 52.943673
    Unten links KachelX 54716 KachelY + 1 42732 -0.51867725 0.92401252 -29.718017 52.942018
    Unten rechts KachelX + 1 54717 KachelY + 1 42732 -0.51862932 0.92401252 -29.715271 52.942018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92404141-0.92401252) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dl = 184.05818999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92404141-0.92401252) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dr = 184.05818999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51867725--0.51862932) × cos(0.92404141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60259986563095 × 6371000     		do = 184.011118246907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51867725--0.51862932) × cos(0.92401252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602622920855718 × 6371000     		du = 184.018158437144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92404141)-sin(0.92401252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60259986563095-0.602622920855718)×R²
    abs(-0.51862932--0.51867725)×2.30552247674209e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30552247674209e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30552247674209e-05×40589641000000     		ar = 33869.4012690401m²