Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54711 / 15065
↖ ↑ ↗
← N 79.831231°
W 29.731751°		 ← 53.92 m → N 79.831231°
W 29.729004°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.830746°
W 29.731751°		 ← 53.92 m →
2 910 m²		 N 79.830746°
W 29.729004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417415618896484 y=0.114940643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417415618896484 × 217)
    floor (0.417415618896484 × 131072)
    floor (54711.5)     		tx = 54711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114940643310547 × 217)
    floor (0.114940643310547 × 131072)
    floor (15065.5)     		ty = 15065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54711 / 15065 ti = "17/54711/15065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54711/15065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54711 ÷ 217
    54711 ÷ 131072     		x = 0.417411804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15065 ÷ 217
    15065 ÷ 131072     		y = 0.114936828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417411804199219 × 2 - 1) × π
    -0.165176391601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51891694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114936828613281 × 2 - 1) × π
    0.770126342773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.41942326072385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51891694} λ = -0.51891694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41942326072385))-π/2
    2×atan(11.2393752561064)-π/2
    2×1.48205707631377-π/2
    2.96411415262754-1.57079632675     		φ = 1.39331783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51891694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.731751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39331783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.831231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54711 KachelY 15065 -0.51891694 1.39331783 -29.731751 79.831231
    Oben rechts KachelX + 1 54712 KachelY 15065 -0.51886900 1.39331783 -29.729004 79.831231
    Unten links KachelX 54711 KachelY + 1 15066 -0.51891694 1.39330936 -29.731751 79.830746
    Unten rechts KachelX + 1 54712 KachelY + 1 15066 -0.51886900 1.39330936 -29.729004 79.830746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39331783-1.39330936) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39331783-1.39330936) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51891694--0.51886900) × cos(1.39331783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176548241897132 × 6371000     		do = 53.9223774270953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51891694--0.51886900) × cos(1.39330936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176556578843941 × 6371000     		du = 53.9249237452435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39331783)-sin(1.39330936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176548241897132-0.176556578843941)×R²
    abs(-0.51886900--0.51891694)×8.33694680821284e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.33694680821284e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.33694680821284e-06×40589641000000     		ar = 2909.84798483702m²