Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54710 / 15005
↖ ↑ ↗
← N 79.860284°
W 29.734497°		 ← 53.77 m → N 79.860284°
W 29.731751°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.859801°
W 29.734497°		 ← 53.77 m →
2 891 m²		 N 79.859801°
W 29.731751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417407989501953 y=0.114482879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417407989501953 × 217)
    floor (0.417407989501953 × 131072)
    floor (54710.5)     		tx = 54710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114482879638672 × 217)
    floor (0.114482879638672 × 131072)
    floor (15005.5)     		ty = 15005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54710 / 15005 ti = "17/54710/15005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54710/15005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54710 ÷ 217
    54710 ÷ 131072     		x = 0.417404174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15005 ÷ 217
    15005 ÷ 131072     		y = 0.114479064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417404174804688 × 2 - 1) × π
    -0.165191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51896488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114479064941406 × 2 - 1) × π
    0.771041870117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.42229947470106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51896488} λ = -0.51896488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42229947470106))-π/2
    2×atan(11.2717486383826)-π/2
    2×1.48231061251509-π/2
    2.96462122503019-1.57079632675     		φ = 1.39382490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51896488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.734497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39382490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.860284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54710 KachelY 15005 -0.51896488 1.39382490 -29.734497 79.860284
    Oben rechts KachelX + 1 54711 KachelY 15005 -0.51891694 1.39382490 -29.731751 79.860284
    Unten links KachelX 54710 KachelY + 1 15006 -0.51896488 1.39381646 -29.734497 79.859801
    Unten rechts KachelX + 1 54711 KachelY + 1 15006 -0.51891694 1.39381646 -29.731751 79.859801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39382490-1.39381646) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39382490-1.39381646) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51896488--0.51891694) × cos(1.39382490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17604911428296 × 6371000     		do = 53.7699310061824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51896488--0.51891694) × cos(1.39381646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176057422455571 × 6371000     		du = 53.7724685359502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39382490)-sin(1.39381646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17604911428296-0.176057422455571)×R²
    abs(-0.51891694--0.51896488)×8.30817261138206e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.30817261138206e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.30817261138206e-06×40589641000000     		ar = 2891.34408798463m²