Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54709 / 13645
↖ ↑ ↗
← N 80.497219°
W 29.737244°		 ← 50.41 m → N 80.497219°
W 29.734497°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.496766°
W 29.737244°		 ← 50.42 m →
2 541 m²		 N 80.496766°
W 29.734497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417400360107422 y=0.104106903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417400360107422 × 217)
    floor (0.417400360107422 × 131072)
    floor (54709.5)     		tx = 54709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104106903076172 × 217)
    floor (0.104106903076172 × 131072)
    floor (13645.5)     		ty = 13645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54709 / 13645 ti = "17/54709/13645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54709/13645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54709 ÷ 217
    54709 ÷ 131072     		x = 0.417396545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13645 ÷ 217
    13645 ÷ 131072     		y = 0.104103088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417396545410156 × 2 - 1) × π
    -0.165206909179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51901281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104103088378906 × 2 - 1) × π
    0.791793823242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.48749365818433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51901281} λ = -0.51901281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48749365818433))-π/2
    2×atan(12.0310842910808)-π/2
    2×1.48786891926276-π/2
    2.97573783852553-1.57079632675     		φ = 1.40494151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51901281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.737244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40494151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.497219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54709 KachelY 13645 -0.51901281 1.40494151 -29.737244 80.497219
    Oben rechts KachelX + 1 54710 KachelY 13645 -0.51896488 1.40494151 -29.734497 80.497219
    Unten links KachelX 54709 KachelY + 1 13646 -0.51901281 1.40493360 -29.737244 80.496766
    Unten rechts KachelX + 1 54710 KachelY + 1 13646 -0.51896488 1.40493360 -29.734497 80.496766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40494151-1.40493360) × R
    7.91000000011088e-06 × 6371000     		dl = 50.3946100007064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40494151-1.40493360) × R
    7.91000000011088e-06 × 6371000     		dr = 50.3946100007064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51901281--0.51896488) × cos(1.40494151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165095477854184 × 6371000     		do = 50.4138902614047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51901281--0.51896488) × cos(1.40493360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165103279304751 × 6371000     		du = 50.4162725281866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40494151)-sin(1.40493360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165095477854184-0.165103279304751)×R²
    abs(-0.51896488--0.51901281)×7.80145056666903e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.80145056666903e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.80145056666903e-06×40589641000000     		ar = 2540.64836509094m²