Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54707 / 12691
↖ ↑ ↗
← N 80.920194°
W 29.742737°		 ← 48.20 m → N 80.920194°
W 29.739990°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.919760°
W 29.742737°		 ← 48.20 m →
2 325 m²		 N 80.919760°
W 29.739990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417385101318359 y=0.0968284606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417385101318359 × 217)
    floor (0.417385101318359 × 131072)
    floor (54707.5)     		tx = 54707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0968284606933594 × 217)
    floor (0.0968284606933594 × 131072)
    floor (12691.5)     		ty = 12691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54707 / 12691 ti = "17/54707/12691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54707/12691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54707 ÷ 217
    54707 ÷ 131072     		x = 0.417381286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12691 ÷ 217
    12691 ÷ 131072     		y = 0.0968246459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417381286621094 × 2 - 1) × π
    -0.165237426757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51910869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0968246459960938 × 2 - 1) × π
    0.806350708007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.53322546042187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51910869} λ = -0.51910869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53322546042187))-π/2
    2×atan(12.5940623449292)-π/2
    2×1.49156007231936-π/2
    2.98312014463872-1.57079632675     		φ = 1.41232382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51910869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.742737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41232382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.920194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54707 KachelY 12691 -0.51910869 1.41232382 -29.742737 80.920194
    Oben rechts KachelX + 1 54708 KachelY 12691 -0.51906075 1.41232382 -29.739990 80.920194
    Unten links KachelX 54707 KachelY + 1 12692 -0.51910869 1.41231625 -29.742737 80.919760
    Unten rechts KachelX + 1 54708 KachelY + 1 12692 -0.51906075 1.41231625 -29.739990 80.919760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41232382-1.41231625) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41232382-1.41231625) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51910869--0.51906075) × cos(1.41232382) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157810038369999 × 6371000     		do = 48.1992477486655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51910869--0.51906075) × cos(1.41231625) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.15781751350951 × 6371000     		du = 48.201530848682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41232382)-sin(1.41231625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157810038369999-0.15781751350951)×R²
    abs(-0.51906075--0.51910869)×7.47513951029899e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.47513951029899e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.47513951029899e-06×40589641000000     		ar = 2324.63102917238m²