Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54706 / 15085
↖ ↑ ↗
← N 79.821528°
W 29.745483°		 ← 53.96 m → N 79.821528°
W 29.742737°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.821043°
W 29.745483°		 ← 53.96 m →
2 912 m²		 N 79.821043°
W 29.742737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417377471923828 y=0.115093231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417377471923828 × 217)
    floor (0.417377471923828 × 131072)
    floor (54706.5)     		tx = 54706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115093231201172 × 217)
    floor (0.115093231201172 × 131072)
    floor (15085.5)     		ty = 15085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54706 / 15085 ti = "17/54706/15085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54706/15085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54706 ÷ 217
    54706 ÷ 131072     		x = 0.417373657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15085 ÷ 217
    15085 ÷ 131072     		y = 0.115089416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417373657226562 × 2 - 1) × π
    -0.165252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51915662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115089416503906 × 2 - 1) × π
    0.769821166992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.41846452273145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51915662} λ = -0.51915662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41846452273145))-π/2
    2×atan(11.2286048038833)-π/2
    2×1.48197240461358-π/2
    2.96394480922716-1.57079632675     		φ = 1.39314848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51915662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.745483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39314848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.821528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54706 KachelY 15085 -0.51915662 1.39314848 -29.745483 79.821528
    Oben rechts KachelX + 1 54707 KachelY 15085 -0.51910869 1.39314848 -29.742737 79.821528
    Unten links KachelX 54706 KachelY + 1 15086 -0.51915662 1.39314001 -29.745483 79.821043
    Unten rechts KachelX + 1 54707 KachelY + 1 15086 -0.51910869 1.39314001 -29.742737 79.821043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39314848-1.39314001) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39314848-1.39314001) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51915662--0.51910869) × cos(1.39314848) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176714929212908 × 6371000     		do = 53.9620295156679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51915662--0.51910869) × cos(1.39314001) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176723265906351 × 6371000     		du = 53.9645752253011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39314848)-sin(1.39314001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176714929212908-0.176723265906351)×R²
    abs(-0.51910869--0.51915662)×8.33669344282861e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.33669344282861e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.33669344282861e-06×40589641000000     		ar = 2911.98768895861m²