Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54703 / 12693
↖ ↑ ↗
← N 80.919327°
W 29.753723°		 ← 48.19 m → N 80.919327°
W 29.750977°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.918894°
W 29.753723°		 ← 48.20 m →
2 324 m²		 N 80.918894°
W 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417354583740234 y=0.0968437194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417354583740234 × 217)
    floor (0.417354583740234 × 131072)
    floor (54703.5)     		tx = 54703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0968437194824219 × 217)
    floor (0.0968437194824219 × 131072)
    floor (12693.5)     		ty = 12693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54703 / 12693 ti = "17/54703/12693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54703/12693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54703 ÷ 217
    54703 ÷ 131072     		x = 0.417350769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12693 ÷ 217
    12693 ÷ 131072     		y = 0.0968399047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417350769042969 × 2 - 1) × π
    -0.165298461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51930043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0968399047851562 × 2 - 1) × π
    0.806320190429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.53312958662263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51930043} λ = -0.51930043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53312958662263))-π/2
    2×atan(12.5928549622034)-π/2
    2×1.49155250703719-π/2
    2.98310501407437-1.57079632675     		φ = 1.41230869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51930043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.753723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41230869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.919327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54703 KachelY 12693 -0.51930043 1.41230869 -29.753723 80.919327
    Oben rechts KachelX + 1 54704 KachelY 12693 -0.51925250 1.41230869 -29.750977 80.919327
    Unten links KachelX 54703 KachelY + 1 12694 -0.51930043 1.41230112 -29.753723 80.918894
    Unten rechts KachelX + 1 54704 KachelY + 1 12694 -0.51925250 1.41230112 -29.750977 80.918894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41230869-1.41230112) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41230869-1.41230112) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51930043--0.51925250) × cos(1.41230869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157824978765305 × 6371000     		do = 48.19375590051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51930043--0.51925250) × cos(1.41230112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15783245388674 × 6371000     		du = 48.1960385187657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41230869)-sin(1.41230112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157824978765305-0.15783245388674)×R²
    abs(-0.51925250--0.51930043)×7.4751214343971e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4751214343971e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4751214343971e-06×40589641000000     		ar = 2324.36615417662m²