Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54702 / 12644
↖ ↑ ↗
← N 80.940543°
W 29.756470°		 ← 48.09 m → N 80.940543°
W 29.753723°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.940111°
W 29.756470°		 ← 48.09 m →
2 310 m²		 N 80.940111°
W 29.753723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417346954345703 y=0.0964698791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417346954345703 × 217)
    floor (0.417346954345703 × 131072)
    floor (54702.5)     		tx = 54702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0964698791503906 × 217)
    floor (0.0964698791503906 × 131072)
    floor (12644.5)     		ty = 12644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54702 / 12644 ti = "17/54702/12644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54702/12644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54702 ÷ 217
    54702 ÷ 131072     		x = 0.417343139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12644 ÷ 217
    12644 ÷ 131072     		y = 0.096466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417343139648438 × 2 - 1) × π
    -0.165313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51934837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096466064453125 × 2 - 1) × π
    0.80706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53547849470401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51934837} λ = -0.51934837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53547849470401))-π/2
    2×atan(12.6224691879228)-π/2
    2×1.49173765041992-π/2
    2.98347530083984-1.57079632675     		φ = 1.41267897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51934837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.756470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41267897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.940543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54702 KachelY 12644 -0.51934837 1.41267897 -29.756470 80.940543
    Oben rechts KachelX + 1 54703 KachelY 12644 -0.51930043 1.41267897 -29.753723 80.940543
    Unten links KachelX 54702 KachelY + 1 12645 -0.51934837 1.41267143 -29.756470 80.940111
    Unten rechts KachelX + 1 54703 KachelY + 1 12645 -0.51930043 1.41267143 -29.753723 80.940111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41267897-1.41267143) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41267897-1.41267143) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51934837--0.51930043) × cos(1.41267897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157459328635928 × 6371000     		do = 48.0921319685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51934837--0.51930043) × cos(1.41267143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157466774573519 × 6371000     		du = 48.0944061494985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41267897)-sin(1.41267143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157459328635928-0.157466774573519)×R²
    abs(-0.51930043--0.51934837)×7.44593759036127e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.44593759036127e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.44593759036127e-06×40589641000000     		ar = 2310.27271745168m²