Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54701 / 85397
↖ ↑ ↗
← S 47.792861°
W 29.759216°		 ← 205.19 m → S 47.792861°
W 29.756470°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 47.794706°
W 29.759216°		 ← 205.18 m →
42 093 m²		 S 47.794706°
W 29.756470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417339324951172 y=0.651531219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417339324951172 × 217)
    floor (0.417339324951172 × 131072)
    floor (54701.5)     		tx = 54701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651531219482422 × 217)
    floor (0.651531219482422 × 131072)
    floor (85397.5)     		ty = 85397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54701 / 85397 ti = "17/54701/85397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54701/85397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54701 ÷ 217
    54701 ÷ 131072     		x = 0.417335510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85397 ÷ 217
    85397 ÷ 131072     		y = 0.651527404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417335510253906 × 2 - 1) × π
    -0.165328979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51939631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651527404785156 × 2 - 1) × π
    -0.303054809570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.952074763353935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51939631} λ = -0.51939631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952074763353935))-π/2
    2×atan(0.385939459167216)-π/2
    2×0.368326768215073-π/2
    0.736653536430146-1.57079632675     		φ = -0.83414279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51939631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.759216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83414279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.792861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54701 KachelY 85397 -0.51939631 -0.83414279 -29.759216 -47.792861
    Oben rechts KachelX + 1 54702 KachelY 85397 -0.51934837 -0.83414279 -29.756470 -47.792861
    Unten links KachelX 54701 KachelY + 1 85398 -0.51939631 -0.83417499 -29.759216 -47.794706
    Unten rechts KachelX + 1 54702 KachelY + 1 85398 -0.51934837 -0.83417499 -29.756470 -47.794706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83414279--0.83417499) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83414279--0.83417499) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51939631--0.51934837) × cos(-0.83414279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671812882771158 × 6371000     		do = 205.18894686178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51939631--0.51934837) × cos(-0.83417499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671789031209926 × 6371000     		du = 205.18166198104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83414279)-sin(-0.83417499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671812882771158-0.671789031209926)×R²
    abs(-0.51934837--0.51939631)×2.3851561231969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3851561231969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3851561231969e-05×40589641000000     		ar = 42092.985501505m²