Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54701 / 15052
↖ ↑ ↗
← N 79.837533°
W 29.759216°		 ← 53.89 m → N 79.837533°
W 29.756470°		 →
↑
53.83 m
↓
↑
53.83 m
↓
N 79.837048°
W 29.759216°		 ← 53.89 m →
2 901 m²		 N 79.837048°
W 29.756470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417339324951172 y=0.114841461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417339324951172 × 217)
    floor (0.417339324951172 × 131072)
    floor (54701.5)     		tx = 54701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114841461181641 × 217)
    floor (0.114841461181641 × 131072)
    floor (15052.5)     		ty = 15052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54701 / 15052 ti = "17/54701/15052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54701/15052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54701 ÷ 217
    54701 ÷ 131072     		x = 0.417335510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15052 ÷ 217
    15052 ÷ 131072     		y = 0.114837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417335510253906 × 2 - 1) × π
    -0.165328979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51939631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114837646484375 × 2 - 1) × π
    0.77032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42004644041891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51939631} λ = -0.51939631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42004644041891))-π/2
    2×atan(11.2463815894267)-π/2
    2×1.48211207008665-π/2
    2.96422414017331-1.57079632675     		φ = 1.39342781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51939631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.759216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39342781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.837533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54701 KachelY 15052 -0.51939631 1.39342781 -29.759216 79.837533
    Oben rechts KachelX + 1 54702 KachelY 15052 -0.51934837 1.39342781 -29.756470 79.837533
    Unten links KachelX 54701 KachelY + 1 15053 -0.51939631 1.39341936 -29.759216 79.837048
    Unten rechts KachelX + 1 54702 KachelY + 1 15053 -0.51934837 1.39341936 -29.756470 79.837048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39342781-1.39341936) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dl = 53.8349499996029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39342781-1.39341936) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dr = 53.8349499996029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51939631--0.51934837) × cos(1.39342781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176439988396746 × 6371000     		do = 53.8893140216322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51939631--0.51934837) × cos(1.39341936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17644830582177 × 6371000     		du = 53.891854377325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39342781)-sin(1.39341936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176439988396746-0.17644830582177)×R²
    abs(-0.51934837--0.51939631)×8.31742502352406e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.31742502352406e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.31742502352406e-06×40589641000000     		ar = 2901.19690575834m²