Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54700 / 13684
↖ ↑ ↗
← N 80.479518°
W 29.761963°		 ← 50.51 m → N 80.479518°
W 29.759216°		 →
↑
50.46 m
↓
↑
50.46 m
↓
N 80.479064°
W 29.761963°		 ← 50.51 m →
2 549 m²		 N 80.479064°
W 29.759216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417331695556641 y=0.104404449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417331695556641 × 217)
    floor (0.417331695556641 × 131072)
    floor (54700.5)     		tx = 54700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104404449462891 × 217)
    floor (0.104404449462891 × 131072)
    floor (13684.5)     		ty = 13684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54700 / 13684 ti = "17/54700/13684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54700/13684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54700 ÷ 217
    54700 ÷ 131072     		x = 0.417327880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13684 ÷ 217
    13684 ÷ 131072     		y = 0.104400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417327880859375 × 2 - 1) × π
    -0.16534423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51944424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104400634765625 × 2 - 1) × π
    0.79119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48562411909915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51944424} λ = -0.51944424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48562411909915))-π/2
    2×atan(12.0086127210459)-π/2
    2×1.48771445067514-π/2
    2.97542890135029-1.57079632675     		φ = 1.40463257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51944424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.761963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40463257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.479518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54700 KachelY 13684 -0.51944424 1.40463257 -29.761963 80.479518
    Oben rechts KachelX + 1 54701 KachelY 13684 -0.51939631 1.40463257 -29.759216 80.479518
    Unten links KachelX 54700 KachelY + 1 13685 -0.51944424 1.40462465 -29.761963 80.479064
    Unten rechts KachelX + 1 54701 KachelY + 1 13685 -0.51939631 1.40462465 -29.759216 80.479064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40463257-1.40462465) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dl = 50.4583200003192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40463257-1.40462465) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dr = 50.4583200003192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51944424--0.51939631) × cos(1.40463257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165400170569102 × 6371000     		do = 50.506931847358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51944424--0.51939631) × cos(1.40462465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165407981478092 × 6371000     		du = 50.5093170023836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40463257)-sin(1.40462465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165400170569102-0.165407981478092)×R²
    abs(-0.51939631--0.51944424)×7.81090899071302e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.81090899071302e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.81090899071302e-06×40589641000000     		ar = 2548.55510489396m²