Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54700 / 13683
↖ ↑ ↗
← N 80.479972°
W 29.761963°		 ← 50.50 m → N 80.479972°
W 29.759216°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
N 80.479518°
W 29.761963°		 ← 50.51 m →
2 552 m²		 N 80.479518°
W 29.759216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417331695556641 y=0.104396820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417331695556641 × 217)
    floor (0.417331695556641 × 131072)
    floor (54700.5)     		tx = 54700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104396820068359 × 217)
    floor (0.104396820068359 × 131072)
    floor (13683.5)     		ty = 13683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54700 / 13683 ti = "17/54700/13683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54700/13683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54700 ÷ 217
    54700 ÷ 131072     		x = 0.417327880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13683 ÷ 217
    13683 ÷ 131072     		y = 0.104393005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417327880859375 × 2 - 1) × π
    -0.16534423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51944424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104393005371094 × 2 - 1) × π
    0.791213989257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.48567205599877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51944424} λ = -0.51944424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48567205599877))-π/2
    2×atan(12.0091883905063)-π/2
    2×1.48771841496701-π/2
    2.97543682993402-1.57079632675     		φ = 1.40464050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51944424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.761963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40464050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.479972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54700 KachelY 13683 -0.51944424 1.40464050 -29.761963 80.479972
    Oben rechts KachelX + 1 54701 KachelY 13683 -0.51939631 1.40464050 -29.759216 80.479972
    Unten links KachelX 54700 KachelY + 1 13684 -0.51944424 1.40463257 -29.761963 80.479518
    Unten rechts KachelX + 1 54701 KachelY + 1 13684 -0.51939631 1.40463257 -29.759216 80.479518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40464050-1.40463257) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40464050-1.40463257) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51944424--0.51939631) × cos(1.40464050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165392349787457 × 6371000     		do = 50.504543677599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51944424--0.51939631) × cos(1.40463257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165400170569102 × 6371000     		du = 50.506931847358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40464050)-sin(1.40463257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165392349787457-0.165400170569102)×R²
    abs(-0.51939631--0.51944424)×7.82078164410227e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.82078164410227e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.82078164410227e-06×40589641000000     		ar = 2551.65239833918m²