Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 547 / 292
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
W 83.847656°		 ← 4 091.97 m → N 77.915669°
W 83.671875°		 →
↑
4 098.08 m
↓
↑
4 098.08 m
↓
N 77.878814°
W 83.847656°		 ← 4 104.27 m →
16 794 427 m²		 N 77.878814°
W 83.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267333984375 y=0.142822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267333984375 × 211)
    floor (0.267333984375 × 2048)
    floor (547.5)     		tx = 547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142822265625 × 211)
    floor (0.142822265625 × 2048)
    floor (292.5)     		ty = 292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 547 / 292 ti = "11/547/292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/547/292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 547 ÷ 211
    547 ÷ 2048     		x = 0.26708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 292 ÷ 211
    292 ÷ 2048     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26708984375 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46341767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46341767} λ = -1.46341767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46341767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.847656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 547 KachelY 292 -1.46341767 1.35988496 -83.847656 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 548 KachelY 292 -1.46034971 1.35988496 -83.671875 77.915669
    Unten links KachelX 547 KachelY + 1 293 -1.46341767 1.35924172 -83.847656 77.878814
    Unten rechts KachelX + 1 548 KachelY + 1 293 -1.46034971 1.35924172 -83.671875 77.878814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35924172) × R
    0.000643240000000045 × 6371000     		dl = 4098.08204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35924172) × R
    0.000643240000000045 × 6371000     		dr = 4098.08204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46341767--1.46034971) × cos(1.35988496) × R
    0.00306795999999987 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 4091.97211626947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46341767--1.46034971) × cos(1.35924172) × R
    0.00306795999999987 × 0.209980100836179 × 6371000     		du = 4104.26541507787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35924172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.209980100836179)×R²
    abs(-1.46034971--1.46341767)×0.000628942785696918×R²
    0.00306795999999987×0.000628942785696918×6371000²
    0.00306795999999987×0.000628942785696918×40589641000000     		ar = 16794427.49047m²