Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54699 / 85371
↖ ↑ ↗
← S 47.744864°
W 29.764709°		 ← 205.38 m → S 47.744864°
W 29.761963°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
S 47.746711°
W 29.764709°		 ← 205.37 m →
42 184 m²		 S 47.746711°
W 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417324066162109 y=0.651332855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417324066162109 × 217)
    floor (0.417324066162109 × 131072)
    floor (54699.5)     		tx = 54699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651332855224609 × 217)
    floor (0.651332855224609 × 131072)
    floor (85371.5)     		ty = 85371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54699 / 85371 ti = "17/54699/85371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54699/85371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54699 ÷ 217
    54699 ÷ 131072     		x = 0.417320251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85371 ÷ 217
    85371 ÷ 131072     		y = 0.651329040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417320251464844 × 2 - 1) × π
    -0.165359497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51949218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651329040527344 × 2 - 1) × π
    -0.302658081054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.950828403963814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51949218} λ = -0.51949218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950828403963814))-π/2
    2×atan(0.386420778322185)-π/2
    2×0.368745621627291-π/2
    0.737491243254581-1.57079632675     		φ = -0.83330508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51949218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.764709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83330508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.744864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54699 KachelY 85371 -0.51949218 -0.83330508 -29.764709 -47.744864
    Oben rechts KachelX + 1 54700 KachelY 85371 -0.51944424 -0.83330508 -29.761963 -47.744864
    Unten links KachelX 54699 KachelY + 1 85372 -0.51949218 -0.83333732 -29.764709 -47.746711
    Unten rechts KachelX + 1 54700 KachelY + 1 85372 -0.51944424 -0.83333732 -29.761963 -47.746711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83330508--0.83333732) × R
    3.22400000000167e-05 × 6371000     		dl = 205.401040000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83330508--0.83333732) × R
    3.22400000000167e-05 × 6371000     		dr = 205.401040000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51949218--0.51944424) × cos(-0.83330508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672433156278036 × 6371000     		do = 205.37839435662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51949218--0.51944424) × cos(-0.83333732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672409293239325 × 6371000     		du = 205.371105970363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83330508)-sin(-0.83333732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672433156278036-0.672409293239325)×R²
    abs(-0.51944424--0.51949218)×2.38630387109362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38630387109362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38630387109362e-05×40589641000000     		ar = 42184.1872768484m²