Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54699 / 15051
↖ ↑ ↗
← N 79.838017°
W 29.764709°		 ← 53.89 m → N 79.838017°
W 29.761963°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.837533°
W 29.764709°		 ← 53.89 m →
2 904 m²		 N 79.837533°
W 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417324066162109 y=0.114833831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417324066162109 × 217)
    floor (0.417324066162109 × 131072)
    floor (54699.5)     		tx = 54699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114833831787109 × 217)
    floor (0.114833831787109 × 131072)
    floor (15051.5)     		ty = 15051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54699 / 15051 ti = "17/54699/15051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54699/15051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54699 ÷ 217
    54699 ÷ 131072     		x = 0.417320251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15051 ÷ 217
    15051 ÷ 131072     		y = 0.114830017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417320251464844 × 2 - 1) × π
    -0.165359497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51949218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114830017089844 × 2 - 1) × π
    0.770339965820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.42009437731853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51949218} λ = -0.51949218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42009437731853))-π/2
    2×atan(11.2469207190141)-π/2
    2×1.48211629897981-π/2
    2.96423259795962-1.57079632675     		φ = 1.39343627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51949218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.764709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39343627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.838017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54699 KachelY 15051 -0.51949218 1.39343627 -29.764709 79.838017
    Oben rechts KachelX + 1 54700 KachelY 15051 -0.51944424 1.39343627 -29.761963 79.838017
    Unten links KachelX 54699 KachelY + 1 15052 -0.51949218 1.39342781 -29.764709 79.837533
    Unten rechts KachelX + 1 54700 KachelY + 1 15052 -0.51944424 1.39342781 -29.761963 79.837533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39343627-1.39342781) × R
    8.46000000009894e-06 × 6371000     		dl = 53.8986600006304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39343627-1.39342781) × R
    8.46000000009894e-06 × 6371000     		dr = 53.8986600006304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51949218--0.51944424) × cos(1.39343627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176431661115995 × 6371000     		do = 53.8867706557467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51949218--0.51944424) × cos(1.39342781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176439988396746 × 6371000     		du = 53.8893140216322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39343627)-sin(1.39342781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176431661115995-0.176439988396746)×R²
    abs(-0.51944424--0.51949218)×8.32728075084166e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.32728075084166e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.32728075084166e-06×40589641000000     		ar = 2904.49327218688m²