Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54698 / 85387
↖ ↑ ↗
← S 47.774406°
W 29.767456°		 ← 205.26 m → S 47.774406°
W 29.764709°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 47.776252°
W 29.767456°		 ← 205.25 m →
42 121 m²		 S 47.776252°
W 29.764709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417316436767578 y=0.651454925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417316436767578 × 217)
    floor (0.417316436767578 × 131072)
    floor (54698.5)     		tx = 54698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651454925537109 × 217)
    floor (0.651454925537109 × 131072)
    floor (85387.5)     		ty = 85387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54698 / 85387 ti = "17/54698/85387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54698/85387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54698 ÷ 217
    54698 ÷ 131072     		x = 0.417312622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85387 ÷ 217
    85387 ÷ 131072     		y = 0.651451110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417312622070312 × 2 - 1) × π
    -0.165374755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51954012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651451110839844 × 2 - 1) × π
    -0.302902221679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.951595394357735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51954012} λ = -0.51954012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951595394357735))-π/2
    2×atan(0.386124510928846)-π/2
    2×0.368487819937169-π/2
    0.736975639874338-1.57079632675     		φ = -0.83382069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51954012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.767456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83382069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.774406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54698 KachelY 85387 -0.51954012 -0.83382069 -29.767456 -47.774406
    Oben rechts KachelX + 1 54699 KachelY 85387 -0.51949218 -0.83382069 -29.764709 -47.774406
    Unten links KachelX 54698 KachelY + 1 85388 -0.51954012 -0.83385290 -29.767456 -47.776252
    Unten rechts KachelX + 1 54699 KachelY + 1 85388 -0.51949218 -0.83385290 -29.764709 -47.776252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83382069--0.83385290) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83382069--0.83385290) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51954012--0.51949218) × cos(-0.83382069) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.672051434118912 × 6371000     		do = 205.261806584171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51954012--0.51949218) × cos(-0.83385290) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.672027582121321 × 6371000     		du = 205.254521570156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83382069)-sin(-0.83385290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672051434118912-0.672027582121321)×R²
    abs(-0.51949218--0.51954012)×2.38519975918061e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38519975918061e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38519975918061e-05×40589641000000     		ar = 42121.0093806739m²