Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54697 / 12731
↖ ↑ ↗
← N 80.902840°
W 29.770202°		 ← 48.28 m → N 80.902840°
W 29.767456°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.902406°
W 29.770202°		 ← 48.28 m →
2 332 m²		 N 80.902406°
W 29.767456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417308807373047 y=0.0971336364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417308807373047 × 217)
    floor (0.417308807373047 × 131072)
    floor (54697.5)     		tx = 54697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971336364746094 × 217)
    floor (0.0971336364746094 × 131072)
    floor (12731.5)     		ty = 12731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54697 / 12731 ti = "17/54697/12731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54697/12731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54697 ÷ 217
    54697 ÷ 131072     		x = 0.417304992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12731 ÷ 217
    12731 ÷ 131072     		y = 0.0971298217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417304992675781 × 2 - 1) × π
    -0.165390014648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51958805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0971298217773438 × 2 - 1) × π
    0.805740356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.53130798443707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51958805} λ = -0.51958805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53130798443707))-π/2
    2×atan(12.5699366704243)-π/2
    2×1.49140863051184-π/2
    2.98281726102368-1.57079632675     		φ = 1.41202093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51958805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.770202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41202093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.902840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54697 KachelY 12731 -0.51958805 1.41202093 -29.770202 80.902840
    Oben rechts KachelX + 1 54698 KachelY 12731 -0.51954012 1.41202093 -29.767456 80.902840
    Unten links KachelX 54697 KachelY + 1 12732 -0.51958805 1.41201335 -29.770202 80.902406
    Unten rechts KachelX + 1 54698 KachelY + 1 12732 -0.51954012 1.41201335 -29.767456 80.902406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41202093-1.41201335) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41202093-1.41201335) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51958805--0.51954012) × cos(1.41202093) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.15810912576003 × 6371000     		do = 48.2805236035258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51958805--0.51954012) × cos(1.41201335) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158116610411554 × 6371000     		du = 48.2828091319091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41202093)-sin(1.41201335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15810912576003-0.158116610411554)×R²
    abs(-0.51954012--0.51958805)×7.48465152419775e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.48465152419775e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.48465152419775e-06×40589641000000     		ar = 2331.6269230352m²