Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54691 / 13810
↖ ↑ ↗
← N 80.422108°
W 29.786682°		 ← 50.82 m → N 80.422108°
W 29.783936°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.421650°
W 29.786682°		 ← 50.82 m →
2 584 m²		 N 80.421650°
W 29.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417263031005859 y=0.105365753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417263031005859 × 217)
    floor (0.417263031005859 × 131072)
    floor (54691.5)     		tx = 54691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105365753173828 × 217)
    floor (0.105365753173828 × 131072)
    floor (13810.5)     		ty = 13810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54691 / 13810 ti = "17/54691/13810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54691/13810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54691 ÷ 217
    54691 ÷ 131072     		x = 0.417259216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13810 ÷ 217
    13810 ÷ 131072     		y = 0.105361938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417259216308594 × 2 - 1) × π
    -0.165481567382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51987568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105361938476562 × 2 - 1) × π
    0.789276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47958406974702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51987568} λ = -0.51987568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47958406974702))-π/2
    2×atan(11.936298717483)-π/2
    2×1.48721344745484-π/2
    2.97442689490968-1.57079632675     		φ = 1.40363057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51987568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.786682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40363057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.422108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54691 KachelY 13810 -0.51987568 1.40363057 -29.786682 80.422108
    Oben rechts KachelX + 1 54692 KachelY 13810 -0.51982774 1.40363057 -29.783936 80.422108
    Unten links KachelX 54691 KachelY + 1 13811 -0.51987568 1.40362259 -29.786682 80.421650
    Unten rechts KachelX + 1 54692 KachelY + 1 13811 -0.51982774 1.40362259 -29.783936 80.421650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40363057-1.40362259) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40363057-1.40362259) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51987568--0.51982774) × cos(1.40363057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166388286363263 × 6371000     		do = 50.8192654897983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51987568--0.51982774) × cos(1.40362259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166396155119252 × 6371000     		du = 50.8216688104191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40363057)-sin(1.40362259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166388286363263-0.166396155119252)×R²
    abs(-0.51982774--0.51987568)×7.86875598896009e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.86875598896009e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.86875598896009e-06×40589641000000     		ar = 2583.74202588839m²