Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54690 / 12702
↖ ↑ ↗
← N 80.915425°
W 29.789429°		 ← 48.21 m → N 80.915425°
W 29.786682°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.914991°
W 29.789429°		 ← 48.22 m →
2 325 m²		 N 80.914991°
W 29.786682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417255401611328 y=0.0969123840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417255401611328 × 217)
    floor (0.417255401611328 × 131072)
    floor (54690.5)     		tx = 54690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969123840332031 × 217)
    floor (0.0969123840332031 × 131072)
    floor (12702.5)     		ty = 12702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54690 / 12702 ti = "17/54690/12702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54690/12702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54690 ÷ 217
    54690 ÷ 131072     		x = 0.417251586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12702 ÷ 217
    12702 ÷ 131072     		y = 0.0969085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417251586914062 × 2 - 1) × π
    -0.165496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51992361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0969085693359375 × 2 - 1) × π
    0.806182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53269815452605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51992361} λ = -0.51992361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53269815452605))-π/2
    2×atan(12.5874231721937)-π/2
    2×1.49151845440277-π/2
    2.98303690880554-1.57079632675     		φ = 1.41224058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51992361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.789429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41224058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.915425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54690 KachelY 12702 -0.51992361 1.41224058 -29.789429 80.915425
    Oben rechts KachelX + 1 54691 KachelY 12702 -0.51987568 1.41224058 -29.786682 80.915425
    Unten links KachelX 54690 KachelY + 1 12703 -0.51992361 1.41223301 -29.789429 80.914991
    Unten rechts KachelX + 1 54691 KachelY + 1 12703 -0.51987568 1.41223301 -29.786682 80.914991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41224058-1.41223301) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41224058-1.41223301) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51992361--0.51987568) × cos(1.41224058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157892234783447 × 6371000     		do = 48.2142933347396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51992361--0.51987568) × cos(1.41223301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157899709823489 × 6371000     		du = 48.2165759281411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41224058)-sin(1.41223301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157892234783447-0.157899709823489)×R²
    abs(-0.51987568--0.51992361)×7.47504004169897e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.47504004169897e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.47504004169897e-06×40589641000000     		ar = 2325.35664258981m²