Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5469 / 2271
↖ ↑ ↗
← N 82.357262°
W119.915772°		 ← 162.47 m → N 82.357262°
W119.904785°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
N 82.355800°
W119.915772°		 ← 162.50 m →
26 408 m²		 N 82.355800°
W119.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166915893554688 y=0.0693206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166915893554688 × 215)
    floor (0.166915893554688 × 32768)
    floor (5469.5)     		tx = 5469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0693206787109375 × 215)
    floor (0.0693206787109375 × 32768)
    floor (2271.5)     		ty = 2271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5469 / 2271 ti = "15/5469/2271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5469/2271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5469 ÷ 215
    5469 ÷ 32768     		x = 0.166900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2271 ÷ 215
    2271 ÷ 32768     		y = 0.069305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.66619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09292504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.069305419921875 × 2 - 1) × π
    0.86138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70613385735141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09292504} λ = -2.09292504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70613385735141))-π/2
    2×atan(14.9712823689529)-π/2
    2×1.50410085119473-π/2
    3.00820170238946-1.57079632675     		φ = 1.43740538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09292504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.915772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43740538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.357262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5469 KachelY 2271 -2.09292504 1.43740538 -119.915772 82.357262
    Oben rechts KachelX + 1 5470 KachelY 2271 -2.09273329 1.43740538 -119.904785 82.357262
    Unten links KachelX 5469 KachelY + 1 2272 -2.09292504 1.43737987 -119.915772 82.355800
    Unten rechts KachelX + 1 5470 KachelY + 1 2272 -2.09273329 1.43737987 -119.904785 82.355800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43740538-1.43737987) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dl = 162.524209999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43740538-1.43737987) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dr = 162.524209999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09292504--2.09273329) × cos(1.43740538) × R
    0.000191749999999935 × 0.132995724501801 × 6371000     		do = 162.472797133532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09292504--2.09273329) × cos(1.43737987) × R
    0.000191749999999935 × 0.13302100784328 × 6371000     		du = 162.503684255853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43740538)-sin(1.43737987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132995724501801-0.13302100784328)×R²
    abs(-2.09273329--2.09292504)×2.52833414782216e-05×R²
    0.000191749999999935×2.52833414782216e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.52833414782216e-05×40589641000000     		ar = 26408.2729545004m²