Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54689 / 85089
↖ ↑ ↗
← S 47.221433°
W 29.792175°		 ← 207.44 m → S 47.221433°
W 29.789429°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
S 47.223299°
W 29.792175°		 ← 207.43 m →
43 030 m²		 S 47.223299°
W 29.789429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417247772216797 y=0.649181365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417247772216797 × 217)
    floor (0.417247772216797 × 131072)
    floor (54689.5)     		tx = 54689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649181365966797 × 217)
    floor (0.649181365966797 × 131072)
    floor (85089.5)     		ty = 85089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54689 / 85089 ti = "17/54689/85089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54689/85089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54689 ÷ 217
    54689 ÷ 131072     		x = 0.417243957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85089 ÷ 217
    85089 ÷ 131072     		y = 0.649177551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417243957519531 × 2 - 1) × π
    -0.165512084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51997155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649177551269531 × 2 - 1) × π
    -0.298355102539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.937310198270958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51997155} λ = -0.51997155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937310198270958))-π/2
    2×atan(0.391679961156028)-π/2
    2×0.373313417080498-π/2
    0.746626834160997-1.57079632675     		φ = -0.82416949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51997155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.792175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82416949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.221433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54689 KachelY 85089 -0.51997155 -0.82416949 -29.792175 -47.221433
    Oben rechts KachelX + 1 54690 KachelY 85089 -0.51992361 -0.82416949 -29.789429 -47.221433
    Unten links KachelX 54689 KachelY + 1 85090 -0.51997155 -0.82420205 -29.792175 -47.223299
    Unten rechts KachelX + 1 54690 KachelY + 1 85090 -0.51992361 -0.82420205 -29.789429 -47.223299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82416949--0.82420205) × R
    3.25600000000703e-05 × 6371000     		dl = 207.439760000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82416949--0.82420205) × R
    3.25600000000703e-05 × 6371000     		dr = 207.439760000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51997155--0.51992361) × cos(-0.82416949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679166780816089 × 6371000     		do = 207.435016614036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51997155--0.51992361) × cos(-0.82420205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679142881937673 × 6371000     		du = 207.42771728141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82416949)-sin(-0.82420205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679166780816089-0.679142881937673)×R²
    abs(-0.51992361--0.51997155)×2.38988784160288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38988784160288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38988784160288e-05×40589641000000     		ar = 43029.5129799987m²