Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54687 / 15007
↖ ↑ ↗
← N 79.859317°
W 29.797668°		 ← 53.76 m → N 79.859317°
W 29.794922°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.858833°
W 29.797668°		 ← 53.77 m →
2 891 m²		 N 79.858833°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417232513427734 y=0.114498138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417232513427734 × 217)
    floor (0.417232513427734 × 131072)
    floor (54687.5)     		tx = 54687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114498138427734 × 217)
    floor (0.114498138427734 × 131072)
    floor (15007.5)     		ty = 15007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54687 / 15007 ti = "17/54687/15007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54687/15007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54687 ÷ 217
    54687 ÷ 131072     		x = 0.417228698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15007 ÷ 217
    15007 ÷ 131072     		y = 0.114494323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417228698730469 × 2 - 1) × π
    -0.165542602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52006742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114494323730469 × 2 - 1) × π
    0.771011352539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.42220360090182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52006742} λ = -0.52006742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42220360090182))-π/2
    2×atan(11.2706680248187)-π/2
    2×1.48230217286805-π/2
    2.96460434573609-1.57079632675     		φ = 1.39380802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52006742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.797668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39380802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.859317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54687 KachelY 15007 -0.52006742 1.39380802 -29.797668 79.859317
    Oben rechts KachelX + 1 54688 KachelY 15007 -0.52001949 1.39380802 -29.794922 79.859317
    Unten links KachelX 54687 KachelY + 1 15008 -0.52006742 1.39379958 -29.797668 79.858833
    Unten rechts KachelX + 1 54688 KachelY + 1 15008 -0.52001949 1.39379958 -29.794922 79.858833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39380802-1.39379958) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39380802-1.39379958) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52006742--0.52001949) × cos(1.39380802) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176065730615642 × 6371000     		do = 53.7637889141338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52006742--0.52001949) × cos(1.39379958) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.17607403876317 × 6371000     		du = 53.7663259069286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39380802)-sin(1.39379958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176065730615642-0.17607403876317)×R²
    abs(-0.52001949--0.52006742)×8.30814752839082e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.30814752839082e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.30814752839082e-06×40589641000000     		ar = 2891.01380557434m²