Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54687 / 14049
↖ ↑ ↗
← N 80.312265°
W 29.797668°		 ← 51.39 m → N 80.312265°
W 29.794922°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.311804°
W 29.797668°		 ← 51.39 m →
2 639 m²		 N 80.311804°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417232513427734 y=0.107189178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417232513427734 × 217)
    floor (0.417232513427734 × 131072)
    floor (54687.5)     		tx = 54687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107189178466797 × 217)
    floor (0.107189178466797 × 131072)
    floor (14049.5)     		ty = 14049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54687 / 14049 ti = "17/54687/14049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54687/14049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54687 ÷ 217
    54687 ÷ 131072     		x = 0.417228698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14049 ÷ 217
    14049 ÷ 131072     		y = 0.107185363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417228698730469 × 2 - 1) × π
    -0.165542602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52006742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107185363769531 × 2 - 1) × π
    0.785629272460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.46812715073783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52006742} λ = -0.52006742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46812715073783))-π/2
    2×atan(11.800325911842)-π/2
    2×1.48625489517597-π/2
    2.97250979035194-1.57079632675     		φ = 1.40171346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52006742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.797668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40171346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.312265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54687 KachelY 14049 -0.52006742 1.40171346 -29.797668 80.312265
    Oben rechts KachelX + 1 54688 KachelY 14049 -0.52001949 1.40171346 -29.794922 80.312265
    Unten links KachelX 54687 KachelY + 1 14050 -0.52006742 1.40170540 -29.797668 80.311804
    Unten rechts KachelX + 1 54688 KachelY + 1 14050 -0.52001949 1.40170540 -29.794922 80.311804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40171346-1.40170540) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40171346-1.40170540) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52006742--0.52001949) × cos(1.40171346) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.168278365525087 × 6371000     		do = 51.3858233017351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52006742--0.52001949) × cos(1.40170540) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.168286310580113 × 6371000     		du = 51.3882494198663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40171346)-sin(1.40170540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168278365525087-0.168286310580113)×R²
    abs(-0.52001949--0.52006742)×7.94505502599296e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.94505502599296e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.94505502599296e-06×40589641000000     		ar = 2638.73767772607m²